Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

USP, Cálculo 3, P3 - 2011, Questão 1a

Calcule S   F . N d S onde F x , y , z = x y , x 2 , ln ( x 2 + y 2 ) e S é a parte da superfície z + 1 2 = x 2 + y 2 para 0 z 3 orientada de modo que N é tal que N . k < 0 .

Passo 1

Antes de tudo, vamos pensar que superfície é essa do problema. Temos um cone que tem raio zero em z = - 1 , cortado pelos planos z = 0 e z = 3 .

Nossa superfície é, portanto, esse retalho de cone.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos parametrizar essa superfíce em coordenadas cilíndricas, ok? Temos:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

O que nos dá

φ r , θ = ( r cos θ ,   r   s e n   θ , r - 1 )

Como 0 z 3 e z = r - 1 , temos

0 r - 1 3

1 r 4

Como temos a volta completa em torno do eixo z , 0 θ 2 π .

Passo 3

Agora temos que calcular a normal φ r × φ θ

Temos:

φ r = cos θ , s e n   θ , 1

φ θ = ( - r   s e n   θ , r cos θ , 0 )

φ r × φ θ = i ^ j ^ k ^ cos θ s e n   θ 1 - r   s e n   θ r cos θ 0 = - r cos θ , - r   s e n   θ , r cos 2 θ + r   s e n 2 θ

= - r cos θ , - r   s e n   θ , r

Bom, como o problema diz que a normal aponta para baixo N . k < 0 , e temos a coordenada z positiva nesse vetor, sabemos que o vetor que a gente quer é o oposto a esse:

φ θ × φ r = r cos θ , r   s e n   θ , - r

Passo 4

Agora, para calcular essa integral, vamos usar a seguinte fórmula:

S   F . n d S = D   F φ x , y φ x × φ y d x d y

Aplicando os valores que nós temos:

S   F n d S = D   F φ r , θ . r cos θ , r   s e n   θ , - r d r d θ

Escrevendo o campo em função das variáveis da parametrização, temos:

F x , y , z = x y , x 2 , ln ( x 2 + y 2 )

φ r , θ = r cos θ ,   r   s e n   θ , r - 1

F φ x , y = r 2 cos θ s e n   θ , r 2 cos 2 θ , ln r 2

A integral fica então

= D   r 2 cos θ s e n   θ , r 2 cos 2 θ , ln r 2 . r cos θ , r   s e n   θ , - r d r d θ =

= D   r 3 cos 2 θ s e n   θ + r 3 cos 2 θ s e n   θ - r ln r 2 d r d θ =

= D   2 r 3 cos 2 θ s e n   θ - r ln r 2 d r d θ =

Trazendo os intervalos de r e θ :

= 0 2 π 1 4 2 r 3 cos 2 θ s e n   θ - r ln r 2 d r d θ =

Passo 5

Agora vamos resolver isso aí

= 0 2 π r 4 2 cos 2 θ s e n   θ 1 4 d θ - 0 2 π 1 4 r ln r 2 d r d θ =

= 0 2 π 128 - 1 2 cos 2 θ s e n   θ d θ - 0 2 π 1 4 r ln r 2 d r d θ =

= 0 2 π 255 2 cos 2 θ s e n   θ d θ - 0 2 π 1 4 r ln r 2 d r d θ =

= - 255 6 cos 3 θ 0 2 π - 0 2 π 1 4 r ln r 2 d r d θ =

= - 0 2 π 1 4 r ln r 2 d r d θ =

= - 2 π 1 4 r ln r 2 d r =

Agora, vamos fazer integração por partes:

ln r 2 = v                     v ' = 2 r r 2 = 2 r

r = u '                     u = r 2 2

- 2 π 1 4 r ln r 2 d r = - 2 π r 2 2 ln r 2 1 4 - 1 4 r 2 2 × 2 r d r

= - 2 π 8 ln 16 - 1 4 r d r =

= - 2 π 8 ln 16 - r 2 2 1 4 = = - 2 π 8 ln 16 - 8 1 2 =

= - 2 π 8 ln 16 - 1 5 2 =

= π 15 - 16 ln 16 =

Resposta

π 15 - 16 ln 16

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