Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

UFPE, Cálculo 3, 2º EE - 2012.2, Questão 2

A lei de condução do calor afirma que, em qualquer meio o fluido de energia J é inversamente proporcional ao gradiente de temperatura, isto é J = - k T ; aqui k é constante.

Seja T r = e - x 2 + y 2 - z a temperatura sobre o paraboloide circular z = x 2 + y 2 ,   z 1 .

(a) Encontre o campo vetorial J , considere k = 1

(b) Determine o fluxo do fluido através da superfície

Passo 1

a )

Pra encontrar o campo vetorial aqui é só fazer o que o enunciado nos deu né? Ele definiu o campo J como

J = - k T

Sendo k = 1 , com isso

J = - T

Beleza, mas o que significa esse triângulo de cabeça pra baixo aqui mesmo?

Se você não lembra, ele é um operador diferencial e significa

= x , y , z

Quando multiplicamos isso por T , na verdade fazemos

T = T x , T y , T z

Ou seja, no final das contas precisamos derivar essa função T três vezes, em relação a x , y e z pra encontrar o campo J

Tudo certo agora né? Mãos a obra!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar derivando em relação a x

T r = e - x 2 + y 2 - z

T x = e - x 2 + y 2 - z . - 2 x

T x = - 2 x e - x 2 + y 2 - z

Fazendo exatamente a mesma conta quando derivamos em y e em z temos isso aqui

T y = - 2 y e - x 2 + y 2 - z

T z = e - x 2 + y 2 - z

Com isso

T = - 2 x e - x 2 + y 2 - z , - 2 y e - x 2 + y 2 - z , e - x 2 + y 2 - z

Ou, se quiser simplificar

T = e - x 2 + y 2 - z . - 2 x , - 2 y , 1

Lembra como ficou definido o campo J ?

J = - T

J = e - x 2 + y 2 - z . 2 x , 2 y , - 1

Passo 3

b )

Pra calcular o fluxo de fluido sobre o paraboloide, precisamos da integral de superfície de J sobre S , essa aqui

F l u x o = S J . n d S

Pra isso precisamos parametrizar a superfície e calcular o valor de n , vamos lá?

A superfície do enunciado é z = x 2 + y 2 , podemos parametrizar de forma explicita então

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

O limite que o enunciado deu foi z 1 , logo

x 2 + y 2 1

Se você quiser esboçar, fica assim

Passo 4

Agora que temos a parametrização, vamos encontrar o vetor n , ele é calculado pelo produto vetorial das derivadas, isso aqui

n = φ x × φ y

Vamos calcular isso então

φ x , y = x , y , x 2 + y 2

φ x = 1,0 , 2 x

φ y = 0,1 , 2 y

A normal vai ser

N = i j k 1 0 2 x 0 1 2 y

N = - 2 x , - 2 y , 1

O enunciado não determina uma orientação pra n , vamos usar essa mesma então.

Passo 5

Antes de colocar tudo na integral, vamos ver como fica J com os novos parâmetros, ou seja, com z = x 2 + y 2

J = e - x 2 + y 2 z - z . 2 x , 2 y , - 1

= e - z - z . 2 x , 2 y , - 1

= e 0 2 x , 2 y , - 1

= 2 x , 2 y , - 1

Agora sim, juntando tudo na integral

S J . n d S

= x 2 + y 2 1   2 x , 2 y , - 1 . - 2 x , - 2 y , 1 d x d y

= x 2 + y 2 1   - 4 x 2 - 4 y 2 - 1 d x d y

Passo 6

Pra integrar isso aí, vamos fazer uma mudança para coordenadas polares aqui

Sabemos que x 2 + y 2 1 , logo

x = r cos θ

y = r sen θ

J = r

0 r 1

0 θ 2 π

Voltando pra integral

x 2 + y 2 1   - 4 x 2 - 4 y 2 - 4 r 2 - 1 d x d y

= 0 2 π 0 1 - 4 r 2 - 1 r d r θ

= 0 2 π 0 1 - 4 r 3 - r d r d θ

Agora é só integrar! Olha só

0 2 π - 4 r 4 4 - r 2 2 0 1 d θ

= 0 2 π - 1 - 1 2 d θ

= 0 2 π - 3 2 d θ

Integrando em θ

- 3 2 θ 0 2 π

= - 3 π

Resposta

- 3 π

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