Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Regiões Planas

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G1 - 2012.2, Questão 1c

Considere a região plana S definida por

S = x , y R 2 - e x y e x ,   0 x 2

c)Calcule a coordenada x - do centroide de S .

Passo 1

c) Alguém falou em centroide? Só tacar na fórmula! A coordenada x - do centroide é a integral dupla de x na região determinada, dividida pela área da própria região (que é a integral dupla de " 1 " ):

x - = 1 Á r e a S   . 0 2 - e x e x x   d y d x

Podemos, então começar calculando essa integral dupla de x ? Desenvolvendo, teremos:

0 2 x y y = - e x y = e x   d x =

0 2 x e x x e x   d x =

2 0 2 x e x   d x =

Tá... e que integral é essa, de x e x ? Estamos pensando em primitivas, certo? Então a pergunta é: o que, derivando, dá x e x ?

Para responder a essa pergunta, temo que perceber que, como o x aparece duas vezes, isso provém de uma “regra do produto”. E, ainda, que, se derivarmos x e x , teremos:

x e x ' = 1 . e x + x e x

Show? A derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro :) E viu o que temos no segundo termo? Exatamente o x e x ! E qual é o primeiro? É e x , cuja derivada é ele mesmo! Assim, para “corrigir” essa regra do produto, temos que a primitiva de x e x é x e x - e x , pois:

x e x - e x ' = 1 . e x + x e x - e x = x e x

Eu sei, não é nada intuitivo... muito e , muito x , mas na hora da prova saia inventando e derivando expressões parecidas, até encontrar a primitiva. Se você demorar mais do que 10 minutos nisso, passe para a próxima XD

Continuando, temos:

2 0 2 x e x   d x =

2 x e x - e x 0 2 =

2 2 e 2 - e 2 - - 0 - - 1 =

2 e 2 + 2

E aí está, a integral dupla de x :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora para a área dessa parada! No caso, para encontrarmos áreas, basta fazer a integral dupla de nada (no caso, da constante " 1 " ) na região. Fica, então:

Á r e a S = 0 2 - e x e x d y d x =

0 2 e x - - e x d x

2 e x 0 2 =

2 e 2 - 2

Finalmente, dividindo a integral dupla do passo anterior pela área que encontramos, temos:

x - = 1 2 e 2 - 2   . 2 e 2 + 2

x - = e 2 + 1 e 2 - 1

Resposta

c) x - = e 2 + 1 e 2 - 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas