Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G4 - 2017.2, Questão 2

Questão 2:

U = x ,   y ,   z R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 4 ,   0 z 1

Calcule a coordenada z do centroide de U .

Passo 1

Para encontrarmos o centro de massa, ou melhor, a coordenada z - dela como pede o problema, podemos simplesmente utilizar a relação:

z - = U   z d V V o l U

Bem, então temos dois trabalhos a fazer aqui:

1º - Encontrar o Volume de U .

2º - Em seguida determinar o valor dessa integral tripla em cima de U .

Então vamos nessa?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com o Volume. Já sabemos que um determinado volume também pode ser calculado por uma integral tripla:

V o l U = U   d V

Mas repare que temos certo trabalho a fazer aqui, como primeiro descrever a região de integração em seguida calcular o volume.

Como U , caso desenhamos em 3 D ...

U = x ,   y ,   z R 3   |   x 2 + y 2 + z 2 4 ,   0 z 1

Ou seja, uma esfera de raio 2 , mas que está entre os planos z = 0 e z = 1 ...

Repare que como estamos trabalhando com uma região que embora esteja dentro de uma esfera, descrever em coordenadas cilíndricas facilita mais, pois temos uma metade de esfera:

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z

O Jacobiano dessas mudanças...

J = r

Além disso, a equação da circunferência ajuda muito:

x 2 + y 2 = r 2

Passo 3

Agora, não podemos sair da mudança enquanto não encontramos as variações de r ,   θ e z ...

Para fazer isso, imaginemos esse tronco de esfera como se fosse um “monte” de círculos empilhados. Vamos descrever um círculo desses, como θ gira ao redor do eixo z ...

0 θ 2 π

Para descrever o raio, repara que ele varia de 0 até a borda da esfera de equação...

x 2 + y 2 + z 2 4

Substituindo as coordenadas cilíndricas...

r 2 + z 2 4                   r 2 4 - z 2          

r 4 - z 2

Então o raio dentro desse círculo está variando de...

0 r 4 - z 2

Descrevemos um círculo. Para descrever todo o volume U , basta variar o z de 0 até 1 :

0 z 1

Passo 4

Com o sólido descrito, podemos simplesmente voltar para a integral tripla do volume que queremos...

V o l U = U   d V

E substituir não esquecendo multiplicar pelo Jacobiano...

V o l U = 0 1 0 2 π 0 4 - z 2 J   d r d θ d z =

0 1 0 2 π 0 4 - z 2 r   d r d θ d z

Integrando...

�� 0 1 0 2 π 0 4 - z 2 r   d r d θ d z = 0 1 0 2 π r 2 2 0 4 - z 2 d θ d z =

0 1 0 2 π 4 - z 2 2 2 d θ d z = 1 2 0 1 0 2 π 4 - z 2   d θ d z =

1 2 0 1 4 - z 2 0 2 π   d θ d z = 1 2 2 π 0 1 4 - z 2 d z =

π 4 z - z 3 3 0 1 = 4 π - π 3 = 11 π 3

Passo 5

Ainda não terminamos, pois só determinamos o volume. Nos falta calcularmos aquela outra integral tripla antes de fazermos a fração...

z - = U   z d V V o l U                                       U   z d V

Para resolver essa integral, com a descrição em coordenadas cilíndricas já resolvidas:

0 θ 2 π

0 r 4 - z 2

0 z 1

Podemos Já substituir...

U   z d V = 0 1 0 2 π 0 4 - z 2 z J   d r d θ d z =

0 1 0 2 π 0 4 - z 2 z r   d r d θ d z

Bora calcular a integral?

Passo 6

0 1 0 2 π z 0 4 - z 2 r   d r d θ d z = 0 1 0 2 π z r 2 2 0 4 - z 2 d θ d z =

Substituindo os limites em r ...

0 1 0 2 π z 4 - z 2 2 2 d θ d z = 1 2 0 1 0 2 π z 4 - z 2   d θ d z =

1 2 0 1 z 4 - z 2 0 2 π   d θ d z = 1 2 2 π 0 1 4 z - z 3 d z =

π 0 1 4 z - z 3 d z = π 2 z 2 - z 4 4 0 1 =

Agora substituindo os limites em z ...

π 2 - 1 4 = 7 π 4

Passo 7

Então podemos concluir que...

z - = U   z d V V o l U =

7 π 4 11 π 3 = 3 11 π 7 π 4

= 21 44

Resposta

21 44

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