Exercícios Resolvidos de Choque de Partículas e Interseção de Curvas

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, PF 2015.1, questão múltipla escolha 8

Uma partícula tem seu movimento no plano descrito pela parametrização r t = e - t cos t i + e - t sen ( t ) j ,   t 0 , . Então podemos afirmar que:

(a) a partícula passa pela reta x + y = - 2 .

(b) nenhuma das outras alternativas.

(c) a partícula passa pela reta x - y = 2 .

(d) a partícula passa pela reta x - y = - 2 .

(e) a partícula passa pela reta x + y = 2 .

Passo 1

A função e - t é decrescente então

t 0       e - t e 0 = 1

E como a exponencial é sempre positiva:

0 e - t 1

E também temos pras funções trigonométricas

- 1 cos t 1

- 1 sen t 1

Logo:

- 1 e - t cos t 1

- 1 e - t sen t 1

A partícula segue a parametrização r t = ( e - t cos t ,   e - t sen t ), então ela vai estar restrita a uma determinada área do plano, com

- 1 x t 1         x 1

e

- 1 y t 1       y 1

Que nada mais é que esse quadrado aqui

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show! Então vamos ver se alguma das retas que ele deu cruzam nosso quadrado! São as retas

x + y = - 2

x - y = + 2

x - y = - 2

x + y = 2

São retas bem parecidas, na forma

y = ± x ± 2

Repare que por causa desse ± 2 , nunca vamos ter ao mesmo tempo x 1     e     y 1 . Então as retas não cruzam o quadrado!

Vou acrescentá-las na nossa figura pra te convencer (na hora da prova você pode fazer uma também no canto da folha que é a boa):

As retas passam raspando mas não cruzam o quadrado! E se fosse considerar essa raspada teríamos 4 alternativas certas né, então a resposta é a letra (b)!

Resposta

Alternativa (b)

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