Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Livro Sadiku, p.266, Problema 7.6

A chave do circuito abaixo foi fechada há um bom tempo e é aberta em t = 0 . Determine v ( t ) para t 0 .

Passo 1

O enunciado diz que a chave do circuito estava fechada há um bom tempo e que, posteriormente, foi aberta. Isso significa que o capacitor está totalmente carregado e isso faz com que ele tenha uma tensão diferente de zero em t = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos encontrar essa tensão em t = 0 :

Para isso, temos que lembrar que o capacitor em CC é um circuito aberto. Logo, podemos encontrar v t no circuito abaixo:

Aplicando divisor de tensão:

v t = 2 × 10 3 2 + 10 × 10 3   × 40

v t = 6,67   V

Em t = 0 - a chave está na iminência de abrir, mas ainda não abriu, e temos exatamente o circuito acima. Portanto:

v 0 - = 6,67   V

Como a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente:

v 0 - = v 0 = v 0 + = 6,67   V

Passo 3

Agora que já encontramos o valor da tensão no instante inicial, vamos encontra-la para t > 0 .

Quando a chave é aberta, temos o circuito abaixo e toda a energia armazenada no capacitor vai começar a descarregar no resistor de 2   k .

Como podemos ver, o circuito acima é o circuito RC sem fonte, e sabemos que a sua resposta natural será:

v t = A e - t R C

Calma, foi muito rápido? Vou relembra como chegamos nessa resposta.

Vamos desenhar as correntes:

Agora, vamos aplicar a LCK no nó amarelo:

i C + i R = 0

A gente sabe quais são as relações de corrente no capacitor e no resistor:

i C = C d v d t

i R = v R

Substituindo:

C d v d t + v R = 0

Essa equação é uma EDO de primeira ordem. Você lembra como resolvê-la?

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

C r + 1 R = 0

r = - 1 R × 1 C

r = - 1 R C

Sabemos que a solução geral da equação é dada por:

v t = A e r t

Sendo A uma constante.

Substituindo o valor de r encontrado, temos:

v t = A e - t R C

Viu só?

Agora, como R = 2   k Ω e C = 40   μ F :

v t = A e - t 0,08

Passo 4

Para terminar, precisamos encontrar a constante A . Para isso vamos utilizar a nossa condição inicial, pois em t = 0 + a chave acabou de se abrir:

v 0 + = 6,67 = A e - 0 0,08

A = 6,67

Logo, a tensão no capacitor para t 0 , será:

v t = 6,67 e - t 0,08

v t = 6,67 e - 12,5 t     V

Resposta

v t = 6,67 e - 12,5 t     V

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