Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Livro Close, p.157, Problema 3.7

Determine v c t   e   i 1 t no circuito abaixo, quando:

  1. v t = u t
  2. v t = δ t

Passo 1

O enunciado nos pede a tensão no capacitor v c t e a corrente i 1 t quando a tensão da fonte v ( t ) é primeiro um degrau unitário   u t e depois um impulso unitário δ ( t ) . Vamos começar encontrando as equações de v c t   e   i 1 t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos aplicar a LCK e dividir a corrente que chega ao nó:

i 1 t = i C t + i R t

Passo 3

Aplicando a LTK no circuito, temos:

v t = v c t + R 1 i C t

Como,

i C t = C d v c t d t

Substituindo:

v t = v c t + R 1 C d v c ( t ) d t

Encontramos a EDO para a tensão no capacitor:

R 1 C d v c ( t ) d t + v c t = v t

Passo 4

Na letra ( a ) , v t = u ( t ) . Ou seja, a tensão é zero até t = 0 e para t > 0 a tensão é constante igual a um.

Logo, para t > 0 , temos a seguinte EDO não homogênea:

R 1 C d v c ( t ) d t + v c t = 1

Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

v c t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

R 1 C d v h d t + v h = 0

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

R 1 C r + 1 = 0

r = - 1 R 1 C

Logo a solução geral da equação é dada por:

v h t = A e - t R 1 C   ,

sendo A uma constante.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

R 1 C d v p ( t ) d t + v p t = 1

Como 1 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

R 1 C d ( B ) d t + B = 1

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 1

Portanto, a solução geral é:

v c t = A e - t R C + 1

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor da constante A .

O capacitor está inicialmente descarregado. Logo, v c t = 0 para t < 0 . Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v c 0 - = v c 0 = v c 0 + = 0

Portanto, de acordo com a nossa condição inicial, temos:

0 = A e - ( 0 ) R 1 C + 1

A = - 1

Substituindo:

v c t = - e - t R 1 C + 1

v c t = 1 - e - t R 1 C

Logo, a tensão no capacitor para qualquer instante de tempo será:

v c t = 0 ,                                                                     t < 0     1 - e - t R 1 C ,                                     t > 0    

Outra maneira de escrever seria:

v c t = 1 - e - t R 1 C   u ( t )

Passo 7

Já encontramos v c t para quando a fonte de tensão é um degrau unitário. Precisamos calcular i 1 t agora.

A gente já tinha visto que:

i 1 t = i C t + i R t

Logo,

i 1 t = C d v c t d t + v t R 2

Acabamos de calcular o valor de v c t e sabemos que v t = u t .

Logo, para t > 0 ,   temos:

i 1 t = C d 1 - e - t R 1 C d t + 1 R 2

i 1 t = C - 1 R 1 C e - t R 1 C + 1 R 2

Logo,

i 1 t =   1 R 2 + 1 R 1 e - t R 1 C   u ( t )

Passo 8

Ufa! Terminamos a letra ( a ) , vamos partir para b . Agora, v t = δ t . Já vimos que para o circuito:

R 1 C d v c ( t ) d t + v c t = v t

Como, para t > 0 o impulso unitário é zero:

R 1 C d v c ( t ) d t + v c t = 0

Nós já resolvemos essa EDO na letra ( a ) e vimos que resposta é:

v c t = A e - t R 1 C

Passo 9

Agora, vamos encontrar a constante A . Como o impulso de tensão não pode ser aplicado no capacitor, ele deve ser aplicado no resistor R 1 , gerando um impulso de corrente de 1 / R 1 .

v 0 = R 1 i c 0

i c 0 = 1 R 1

Como R 1 está em série com o capacitor. Esse impulso de corrente também passa pelo capacitor e de acordo com o teorema, um impulso de corrente de 1 / R 1 passando pelo capacitor faz com que sua tensão instantaneamente suba para 1 / R 1 C .

v c 0 + = 1 R 1 C

Sabendo disso, já podemos calcular a constante A .

1 R 1 C = A e - 0 R C

A = 1 R 1 C

Portanto, a resposta v c t   ao impulso unitário será:

v c t = 1 R 1 C e - t R 1 C   u ( t )

Passo 10

Para terminar, precisamos encontrar i 1 ( t ) para esse caso. A gente já tinha visto que:

i 1 t = i C t + i R t

Logo,

i 1 t = C d v c t d t + v t R 2

Acabamos de calcular o valor de v c t e sabemos que v t = δ t .

Em t = 0 , vimos que o impulso de tensão faz com que

i c 0 = 1 R 1

Isso também ocorre com a corrente que passa pelo outro ramo:

i R ( 0 ) = 1 R 2

Já para t > 0 , temos:

i 1 t = C d 1 R 1 C e - t R 1 C d t + 0 R 2

i 1 t = C - 1 R 1 C 2 e - t R 1 C

i 1 t = - 1 R 1 2 C e - t R 1 C

Portanto,

i 1 t = 1 R 1 + 1 R 2 ,                             t = 0 - 1 R 1 2 C e - t R 1 C ,             t > 0

Que também podemos escrever assim:

i 1 t = 1 R 1 + 1 R 2 δ t - 1 R 1 2 C e - t R 1 C   u ( t )

Resposta

a )     v c t = 1 - e - t R 1 C u t i 1 t = 1 R 2 + 1 R 1 e - t R 1 C   u ( t )        

b )     v c t = 1 R 1 C e - t R 1 C   u t i 1 t = 1 R 2 + 1 R 1   δ ( t ) - 1 R 1 2 C e - t R 1 C   u ( t )        

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