Exercícios Resolvidos de Circuito RC

Livro Close, p.160, Problema 3.16

Determine a resposta ao degrau unitário e a resposta à rampa unitária do circuito abaixo.

Passo 1

O enunciado pede para a gente determinar a tensão no capacitor para quando a fonte de corrente for um degrau unitário u ( t ) e para a rampa unitária r ( t ) . Para encontrarmos uma relação entre i ( t ) e v 0 t , vamos fazer uma análise nodal no circuito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos fazer a análise nodal do circuito abaixo:

Aplicando LCK nos nós:

i 1 = i b + i 2

e

i 2 = 4 i b + i c

Escrevendo essas correntes em função das nossas tensões nodais, temos:

i b = 2 v 1

i 2 = v 1 - v 0

i c = 1 d v 0 d t

Substituindo esses valores nas equações nodais:

i 1 = 2 v 1 + v 1 - v 0           v 1 - v 0 = 4 2 v 1 + d v 0 d t

Simplificando:

i 1 = 3 v 1 - v 0             d v 0 d t + v 0 = - 7 v 1

Isolando v 1 na primeira equação e substituindo na segunda, obtemos:

d v 0 d t + v 0 = - 7 i 1 + v 0 3  

Dando aquela ajeitada:

d v 0 d t + v 0 + 7 3 v 0 = - 7 3 i 1

d v 0 d t + 10 3 v 0 = - 7 3 i 1

Como para t > 0 o valor da corrente na fonte é igual a 1 , temos:

d v 0 d t + 10 3 v 0 = - 7 3

Passo 3

Chegamos a EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

v 0 t = v h ( t ) + v p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

d v h d t + 10 3 v h = 0

Para resolver essa equação, primeiro vamos obter a equação característica:

r + 10 3 = 0

r = - 10 3

Logo a solução geral da equação é dada por:

v h t = A e - 10 3 t  

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

d v p d t + 10 3 v p = - 7 3

Como 4 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

v p = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

d ( B ) d t + 10 3 B = - 7 3

Como a derivada de uma constante é zero:

B = - 7 10

Portanto, a solução geral é:

v 0 t = A e - 10 3 t - 7 10

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor da constante A . Para isso, sempre usamos a nossa condição inicial.

O capacitor está inicialmente descarregado. Logo, v 0 t = 0 para t = 0 . Lembrando que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente, então:

v 0 0 - = v 0 0 = v 0 0 + = 0

Portanto, de acordo com a nossa condição inicial, temos:

0 = A e - 10 3 ( 0 ) - 7 10

A = 7 10

Substituindo:

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 7 10

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 1   ,     t 0

Que também podemos escrever assim:

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 1   u ( t )

Passo 6

Pronto, encontramos a resposta ao degrau unitário. Agora precisamos encontrar a resposta à rampa unitária. Sabemos que se a gente integrar a resposta ao degrau unitário, encontraremos a resposta à rampa unitária. Logo:

v 0 t = 0 t 7 10 e - 10 3 λ - 1   d λ

v 0 t = 0 t 7 10 e - 10 3 λ   d λ - 0 t 7 10 d λ

v 0 t = 7 10 - 3 10 e - 10 3 λ t 0 - 7 10 λ t 0

v 0 t = - 21 1 00 e - 10 3 t + 21 100 - 7 10 t

v 0 t = - 7 10 t + 21 100 1 - e - 10 3 t ,     p a r a   t 0

Que também podemos escrever assim:

v 0 t = - 7 10 t + 21 100 1 - e - 10 3 t   u ( t )

Resposta

Quando i 1 t = u t ,

v 0 t = 7 10 e - 10 3 t - 1   u ( t )

Quando i 1 t = r t ,

v 0 t = - 7 10 t + 21 100 1 - e - 10 3 t   u ( t )

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