Exercícios Resolvidos de Circuito RLC sem fonte

Livro Sadiku, p.320, Problema 8.9

A corrente em um circuito R L C é descrita por

d 2 i d t 2 + 10 d i d t + 25 i = 0

Se i 0 = 10   A e d i ( 0 ) / d t = 0 determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Como o enunciado falou da corrente em um circuito R L C , significa que a mesma corrente passa por todos os elementos. Portanto, o circuito é um R L C série.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado disse que a corrente é descrita assim

d 2 i d t 2 + 10 d i d t + 25 i = 0

Vamos encontrar a solução de EDO de segunda ordem. Ela possui a seguinte equação característica:

r 2 + 10 r + 25 = 0

Logo,

r 1,2 = - 10 ± 10 2 - 4 × 1 × 25 2 ( 1 )

Então,

r 1 = - 10 + 100 - 100 2 = - 5

r 2 = - 10 - 100 - 100 2 = - 5

Passo 3

Temos duas raízes reais e iguais, r 1 = r 2 = - α = - 5 . Logo, para esse caso a solução da EDO é

i t = A + B t e - α t

Substituindo o valor de α

i t = A + B t e - 5 t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores das constantes A e B . Para isso, vamos utilizar as nossas condições iniciais

i 0 = 10   A

d i 0 d t = 0

Da primeira condição,

i 0 = A + B 0 e - 5 ( 0 ) = 10

A = 10

Passo 5

Calculando a derivada de i ( t ) , temos:

d i t d t = B e - 5 t + A + B t - 5 e - 5 t

Usando a nossa segunda condição inicial,

d i 0 d t = B e - 5 0 + A + B 0 - 5 e - 5 0 = 0

B - 5 A = 0

B = 5 10

B = 50

Passo 6

Portanto, substituindo os valores das constantes, nossa solução final será

i t = 10 + 50 t e - 5 t   A

Resposta

i t = 10 + 50 t e - 5 t   A

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