Exercícios Resolvidos de Circuitos RL

Livro Close, p.159, Problema 3.12

Determine as respostas ao degrau unitário e ao impulso no circuito abaixo.

Passo 1

O enunciado nos pede a tensão no indutor v 0 t quando a corrente da fonte i 1 ( t ) for primeiro um degrau unitário   u t e depois um impulso unitário δ ( t ) . Vamos começar!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o caso em que i t = u t . Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito e para t > 0 a fonte de corrente vale 1   A . Logo, para t > 0 ,   vamos analisar o circuito abaixo.

Sabemos que a tensão no indutor tem a seguinte relação:

v 0 t = L d i L d t = 2 d i L d t

E como o indutor está em paralelo com o resistor de 3   , eles possuem a mesma tensão.

v 0 t = 3 i 2

Aplicando LCK no nó:

i 1 = i 2 + i L

Como, para t > 0 , i 1 = 1   A .

i 2 = 1 - i L

Logo,

v 0 t = 3 ( 1 - i L )

2 d i L d t = 3 - 3 i L

2 d i L d t + 3 i L = 3

Passo 3

Chegamos a uma EDO não homogênea. A solução geral dessa equação é composta pela solução particular mais a solução da homogênea.

i L t = i h ( t ) + i p ( t )

Primeiro, vamos resolver a homogênea:

2 d i h d t + 3 i h = 0

Nós já resolvemos essa EDO quando estudamos o caso sem fontes e vimos que resposta é:

i h t = A e - 3 2 t

Agora, precisamos encontrar a solução particular.

2 d i p d t + 3 i p = 3

Como 3 é uma constante, a solução particular deve ser também uma constante:

i p t = B ,

sendo B uma constante.

Substituindo, temos:

2 d ( B ) d t + 3 ( B ) = 3

Como a derivada de uma constante é zero:

B = 3 3 = 1

Portanto, a solução geral é:

i L t = A e - 3 2 t + 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da constante A . Como a fonte de corrente é um degrau unitário, até o instante t = 0 , não há circulação de corrente no circuito. Logo, i L t = 0 para t < 0 . Lembrando que a corrente no indutor não pode variar instantaneamente, então:

i 0 - = i 0 = i 0 + = 0

Então, utilizando a nossa condição inicial

0 = A e - 3 2 × ( 0 ) + 1

A = - 1

Substituindo:

i L t = 1 - e -   3 2 t   A

Logo, a corrente no indutor para qualquer instante de tempo será:

i L t = 0 ,                                                                         t < 0         1 - e -   3 t 2 ,                                           t > 0      

Também podemos escrever assim:

i L t = 1 - e -   3 2 t u ( t )

Passo 5

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor, finalmente podemos encontrar o valor de v 0 t . Sabemos que:

v 0 t = 2 d i L d t

Substituindo,

v 0 t = 2 × d 1 - e -   3 2 t d t

v 0 t = 2 × - 3 2 - e -   3 2 t

Logo,

v 0 t = 3 e -   3 2 t   u ( t )

Também poderíamos encontrar v 0 t , pela equação de tensão no resistor.

v 0 t = 3 ( 1 - i L )

Substituindo i L :

v 0 t = 3 1 - 1 - e -   3 2 t

v 0 t = 3 e -   3 2 t   u t

Viu só!

Passo 6

Agora, precisamos encontrar v 0 t para quando i i t = δ ( t ) . No instante t = 0 , um impulso de corrente no indutor causaria uma corrente infinita passando por ele, o que não é possível. Logo, o impulso de corrente fornecido pela fonte deve passar somente pelos resistores.

Quando esse impulso unitário de corrente passa pelo resistor de 3   , ele gera um impulso de tensão no resistor e, consequentemente, no indutor, já que eles estão em paralelo. Portanto podemos dizer que:

v 0 t = 3 δ ( t )

Passo 7

Encontramos o valor de v 0 no instante t = 0 . Agora temos que calcular para t > 0 .

Como a corrente da fonte é zero para t > 0 , a fonte de corrente pode ser substituída por um circuito aberto, tornando o circuito igual ao caso sem fonte.

Já sabemos que a corrente para esse circuito tem a seguinte valor:

i L t = i L 0 e - 3 2 t  

Agora, lembra daquele teorema que um impulso unitário de tensão no indutor altera instantaneamente sua corrente de zero para 1 / L   ampéres?

Então, a gente viu que em t = 0 é aplicado um impulso de tensão de 3   V no indutor. Logo, esse impulso de 3   V vai alterar a corrente do indutor instantaneamente para 3 / 2 ampéres.

i L 0 = 3 2   A

Logo,

i L t = 3 2 e - 3 2 t   A

Passo 8

Agora que encontramos a corrente que passa pelo indutor para t > 0 , finalmente podemos encontrar o valor de v 0 t . Sabemos que:

v 0 t = 2 d i L d t

Substituindo,

v 0 t = 2 × d 3 2 e - 3 2 t   d t

v 0 t = 2 × - 9 4 e - 3 2 t

v 0 t = - 9 2 e - 3 2 t   u ( t )

Logo, a expressão geral para v 0 ( t ) quando a fonte de corrente é um degrau unitário é:

v 0 t = 3 δ t - 9 2 e - 3 2 t   u ( t )

Resposta

v 0 t = 3 e -   3 2 t   u t ,     p a r a   i 1 t = u ( t )

v 0 t = 3 δ t - 9 2 e - 3 2 t   u t ,     p a r a   i 1 t = δ t

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