Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

USP, Física 3, PREC - 2014, Questão 4

No circuito Equation abaixo, com o capacitor descarregando, a corrente atinge o seu valor máximo Equation no instante Equation .

Equation Escreva a equação diferencial para a carga Equation na placa superior do capacitor. Usando o fato de que a corrente é máxima no instante Equation , demostre que Equation .

Equation Escreva a solução geral da equação. Determine a carga Equation e a corrente Equation no circuito para Equation satisfazendo as condições iniciais Equation e Equation .

Equation Calcule a energia total no circuito Equation e mostre que ela se conserva.

Passo 1

Equation Escreva a equação diferencial para a carga Equation na placa superior do capacitor. Usando o fato de que a corrente é máxima no instante Equation , demostre que Equation .

Usando a lei das malhas, a somas das diferenças de potencial entre todos os elementos do circuito deve ser nulo, logo:

Equation

Equation

Sabendo que, durante a descarga do capacitor, Equation , teremos:

Equation

Equation

Dividindo todos os termos por Equation , teremos:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para demonstrar que Equation , vamos voltar à equação inicial:

Equation

O problema disse que, em Equation , a corrente é máxima, logo:

Equation

Sendo assim:

Equation

Equation

Passo 3

Equation Escreva a solução geral da equação. Determine a carga Equation e a corrente Equation no circuito para Equation satisfazendo as condições iniciais Equation e Equation .

A equação diferencial de Equation que encontramos na letra Equation foi:

Equation

A solução geral da equação diferencial acima é:

Equation

Equation

Onde:

Equation

Passo 4

A partir daqui, vamos usar as condições iniciais do problema pra encontrar os valores de Equation e Equation , ok?

Equation

Equation

A partir dessas condições, teremos:

Equation

Equation

Equation

Equation

Finalmente, substituindo as constantes, teremos:

Equation

Equation

Passo 5

Equation Calcule a energia total no circuito Equation e mostre que ela se conserva.

A energia total do sistema será a soma das energias do capacitor e do indutor, logo:

Equation

Equation

Substituindo as expressões de Equation e Equation , teremos:

Equation

Lembrando que:

Equation

Teremos:

Equation

Equation

Equation

Sabendo que Equation , finalmente, teremos:

Equation

Portanto, a energia do circuito é constante, provando que ela se conserva, independente do estado do circuito.

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

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