Exercícios Resolvidos de Circuitos RLC

USP, Física 3, P3 - 2012, Questão 4

Considere o circuito formado por uma bateria com fem Equation , um resistor com resistência Equation , um capacitor com capacitância Equation , um indutor com indutância Equation e uma chave comutadora com duas posições: Equation e Equation .

A chave permanece na posição Equation por um tempo muito longo. Nesta situação, em um instante definido como Equation , a chave passa para a posição b.

Equation Qual é a carga Equation na placa superior do capacitor em Equation .

Equation Deduza a equação diferencial para a carga Equation na placa superior do capacitor com a chave na posição Equation . Sabendo que a solução geral da equação diferencial tem a forma Equation , determine Equation . Usando as condições iniciais para o problema determine Equation e Equation .

Equation Determine a energia Equation no capacitor e a energia Equation no indutor como função do tempo. A soma das energias no capacitor e no indutor depende do tempo?

Passo 1

Equation Qual é a carga Equation na placa superior do capacitor em Equation .

Quando a chave está na posição Equation , o capacitor está em processo de carregamento, por conta da fem Equation . E quando o problema diz que a chave está na posição Equation por um tempo muito longo, isso significa que o capacitor está totalmente carregado.

Quando o capacitor está totalmente carregado, Equation , logo:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Equation Deduza a equação diferencial para a carga Equation na placa superior do capacitor com a chave na posição Equation . Sabendo que a solução geral da equação diferencial tem a forma Equation , determine Equation . Usando as condições iniciais para o problema determine Equation e Equation .

Quando a chave passa para a posição Equation , o circuito passará a ser formado somente pelo capacitor e pelo indutor. Portanto, de acordo com a Lei das Malhas:

Equation

Por definição, Equation , portanto, a equação diferencial será:

Equation

Equation

Passo 3

Sabendo que a solução da equação diferencial é Equation , vamos aplicar isso à equação diferencial para determinar Equation .

Equation

Equation

Equation

Substituindo isso na equação diferencial

Equation

Teremos:

Equation

Agora é só organizar esse cara:

Equation

Equation

Equation

Finalmente:

Equation

Passo 4

As condições iniciais do circuito são:

Equation

Equation

Onde:

Equation

Equation

Então vamos utilizar isso para determinar Equation e Equation , beleza?

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Então, daqui podemos tirar que:

Equation

Equation

Então temos duas possibilidades:

Equation

Equation

Ou:

Equation

Equation

Passo 5

Equation Determine a energia Equation no capacitor e a energia Equation no indutor como função do tempo. A soma das energias no capacitor e no indutor depende do tempo?

As energias no capacitor e no indutor são dadas por:

Equation

Equation

Onde:

Equation

Equation

Portanto:

Equation

Equation

Lembrando que Equation , logo:

Equation

Substituindo isso na expressão de Equation , teremos:

Equation

Equation

Somando as energias, teremos:

Equation

Equation

Logo, a somas das energias no capacitor e no indutor independe do tempo.

Resposta

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Ou:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

A soma das energias no capacitor e no indutor independe do tempo.

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