Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Homogênea

UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2e

Exercício nº 2 letra e lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014

Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:

d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0

Passo 1

Temos aqui um problema que envolve uma derivada de 3 ª   ordem:

d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0

Só que conseguimos melhorar nossa situação usando uma parada muito útil! Vamos usar a substituição simples de início:

w = d y d x

-Substituindo:

w ' ' - 4 w ' + 5 w = 0

Eita, isso é uma EDO de segunda ordem homogênea, no estilão que costumamos resolver!

Temos, então

r 2 - 4 r + 5 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = - 4 2 - 4 1 ( 5 )

⇒ Δ = - 4

⇒ Δ < 0

Passo 3

Encontrar raízes da equação auxiliar:

r 2 - 4 r + 5 = 0

Cálculo das raízes:

w = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± i 4 2 ( 1 )

⇒ w 1 = 2 + i w 2 = 2 - i

Passo 4

Encontrar a solução:

w x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x

Mas sabemos que

w = d y d x

Logo:

d y d x = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x

Uma Edo separável!!

d y = ∫ e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x d x

y = ∫ e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 sen ⁡ - x d x + c 3 y = c 1 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x + c 2 ∫ e 2 x sen ⁡ ( - x ) d x + c 3

Como resolver essa integral??

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x

Tem que fazer duas integrações por partes:

u = e 2 x →     d u = 2 e 2 x d x

d v = cos ⁡ ( x ) d x → v = sen ⁡ ( x )

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ ( x ) - 2 ∫ sen ⁡ x e 2 x   d x

E novamente:

u = e 2 x →     d u = 2 e 2 x d x

d v = sen ⁡ ( x ) d x → v = - cos ⁡ ( x )

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ ( x ) - 2 - e 2 x cos ⁡ x + 2 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x

Notou que as duas integrais são iguais?! Pois é! Vamos ajeitar essa equação!

∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 4 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x

Passando a integral pro lado esquerdo: 5 ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x ∫ e 2 x cos ⁡ ( x ) d x = e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x 5

A outra integral é exatamente o mesmo procedimento para resolver! Essa dará:

∫ e 2 x sen ⁡ ( - x ) d x = e 2 x - 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x 5

Logo finalmente:

y = c 1 ∫ e 2 x cos ⁡ x d x + c 2 ∫ e 2 x sen ⁡ - x d x + c 3 y = c 1 e 2 x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x 5 + c 2 e 2 x - 2 sen ⁡ x + cos ⁡ x 5 + c 3 y = e 2 x c 1 - 2 c 2 5 sen ⁡ ( x ) + e 2 x 2 c 1 + c 2 5 cos ⁡ ( x ) + c 3 Não importa muito como ficam as constantes que multiplicam o seno e o cosseno, porque elas são determinadas pelas condições iniciais, assim podemos trocar isso por outra constante:

y = k 1 e 2 x sen ⁡ ( x ) + k 2 e 2 x cos ⁡ ( x ) + c 3

Outro exercício bem diferente, né? Bastante trabalhoso por causa das integrais, mas foi um ótimo treino, você está vendo tudo quanto é tipo de exercício diferente!

Resposta

y = k 1 e 2 x sen ⁡ ( x ) + k 2 e 2 x cos ⁡ ( x ) + c 3

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