Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados
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EDO de 2ª Ordem não Homogênea
Considere a equação diferencial
- Encontre a solução da equação diferencial
- Encontre
Passo 1
Colocar a EDO na forma :
A equação já está nessa forma:
Passo 2
Encontrar solução homogênea:
Encontrar , e :
Comparando as equações:
Logo:
Passo 3
Verificar discriminante: , ou ?
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
Cálculo das raízes:
Passo 5
Encontrar a solução:
Substituindo o valor de :
Passo 6
Encontrar com coeficientes a determinar:
Como é um polinômio de grau 1, então também será um polinômio de mesmo grau:
Passo 7
Verificar se a solução particular não é solução geral da equação homogênea:
Nessa EDO, essa solução não satisfaz a equação homogênea!
Passo 8
Encontrar derivadas de :
Passo 9
Substituir na equação e encontrar constantes:
Resolvendo o sistema, temos que
Passo 10
Encontrar substituindo constantes encontradas:
Passo 11
Encontrar solução geral:
Passo 12
Vamos ver agora o problema de valor inicial
Vamos ver a derivada agora
Substituindo o valor de que achamos ali em cima
A solução vai ser
Passo 13
Temos que fazer o limite que ele pediu
Vamos fazer cada um desses limites
Vamos usar regra de L’Hôspital aqui
Vamos ter
Resposta
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