Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

USP, Cálculo 4, P3 - 2013, Questão 3b

Obtenha a solução geral da equação diferencial y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e - x

Passo 1

Acharemos a homogênea primeiro.

Utilizando a equação característica para resolver a parte homogênea:

r 3 - 2 r 2 + r = 0

A soma dos coeficientes dessa série da 0 , logo 1   é raiz, você poderia fazer assim: r - 1 a r 2 + b r + c = r 3 - 2 r 2 + r

Ae você desenvolve isso e acha as constantes, agora tem que resolver um polinômio do segundo grau, que é mais fácil. Mas eu vi um jeitinho mais fácil, já sabemos que 1 é raiz, da uma olhada aqui embaixo:

r 3 - r 2 - r 2 + r = 0

r 2 r - 1 - r r - 1 = 0 Colocando r - 1 em evidência:

r 2 - r r - 1 = 0 Desenvolvendo:

r r - 1 r - 1 = 0

Sacou? Eu só me livrei do trabalho de determinar as constantes, parando pra pensar, era meio óbvio também que 0 era raiz, opss! Mas já resolvemos hehe, vamos continuar! Agora temos as raízes:

r 1 = 0 r 2 = 1 = r 3

Como temos raízes repetidas, a solução da homogênea é dada por:

y h = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora devemos determinar a solução particular, vamos fazer isso pelo método dos coeficientes a determinar:

Analisando a cara da parte polinomial, procuramos o polinômio de menor grau que tenha o mesmo grau que ele, se analisarmos:

y x = A x + B

O chute de exponencial é simples e é ela mesma, então o chute da particular fica:

y p x = A x + B e - x y p ' x = A e - x - A x + B e - x = - A x + A - B e - x

y p ' ' x = - A e - x + A x - A + B e - x = A x - 2 A + B e - x

y p ' ' ' = A e - x + - A x + 2 A - B e - x = - A x + 3 A - B e - x

Substuindo esses valores na EDO:

y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' = x e - x

- A x + 3 A - B e - x - 2 A x - 2 A + B e - x + - A x + A - B e - x = x e - x

Cortando a exponencial:

- A x + 3 A - B - 2 A x + 4 A - 2 B - A x + A - B = x

Juntando os coeficientes:

- 4 A x + 8 A - 4 B = x

Igualando os coeficientes:

- 4 A = 1   A = - 1 4

8 A - 4 B = 0 B = 2 A = - 1 2

Assim a solução particular é:

y p x = - 1 4 x - 1 2 e - x = - 1 4 x e - x - 1 2 e - x

Passo 3

A solução geral é dada por:

y x = y h x + y p ( x )

y x = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x - 1 4 x e - x - 1 2 e - x

Resposta

y x = c 1 + c 2 e x + c 3 x e x - 1 4 x e - x - 1 2 e - x

c 1 , c 2 , c 3 R

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