Exercícios Resolvidos de Colisões Elásticas

UFRJ – 2ª Prova – 2015.1a

Um bloco de massa M está em equilíbrio preso a uma mola ideal, de constante elástica k , inicialmente em sua posição relaxada, como mostra a figura. Uma bala de massa m com velocidade horizontal de módulo v 0 colide com esse bloco de modo que a bala retorna após a colisão no sentido oposto com velocidade de módulo v 0 / 2 .

Considere que: a colisão é instantânea; que a mola é ideal; que a resistência do ar é desprezível; e que a gravidade tem módulo g conhecido.

Determine, em função dos dados do problema:

c A razão m / M para que a colisão seja elástica.

Passo 1

c Para a colisão ser elástica, a energia cinética deve se conservar!

Antes da colisão, o bloco está parado, então a energia cinética total do sistema bala+bloco é a energia cinética da bala

K S i s t e m a 0 = 1 2 m v 0 2

Depois da colisão, a velocidade da bala é v 0 2 e a do bloco é V . Então a energia cinética final do sistema é

K s i s t e m a f = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

Logo, a equação de conservação da energia cinética é:

1 2 m v 0 2 = 1 2 m v 0 2 2 + 1 2 M V 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, temos as massas as quais queremos saber a razão entre elas, mas ainda temos a velocidade do bloco V como incógnita, então temos que descobri-la e faremos isso por conservação de momento linear.

Como estamos estudando uma colisão, e o enunciado ainda fez questão de enfatizar ser instantânea, vamos usar a relação que na colisão há conservação de momento linear, então

p a n t e s = p d e p o i s

Vamos analisar o momento linear antes do impacto:

A bala tem massa m e velocidade inicial de módulo v 0 , enquanto o bloco tem massa M , mas está parado.

Vamos definir o sentido de v → 0 (pra direita) como positivo. Então o momento linear total do sistema bala+bloco logo antes da colisão, em módulo, é:

p 0 = m v 0 + M ⋅ 0 = m v 0

Passo 3

Agora o momento linear depois da colisão:

Logo após a colisão, a bala volta com velocidade de módulo v 0 / 2 no sentido oposto, então sua velocidade agora é negativa. E o bloco M vai ter a velocidade V , que é justamente o que a gente quer achar!

Então o módulo do momento linear total do sistema logo após a colisão é:

p f = m - v 0 2 + M V = M V - m v 0 2

Voltando pra equação da conservação do momento linear:

p 0 = p f

⇒ m v 0 = M V - m v 0 2

⇒ 3 2 m v 0 = M V

⇒ V = 3 m v 0 2 M

Passo 4

Agora que temos V , podemos resolver a equação que achamos pela conservação de energia, basta multiplicar tudo por 2 e substituir V = 3 m v 0 2 M :

m v 0 2 = m v 0 2 2 + M 3 m v 0 2 M 2

⇒ m v 0 2 = m v 0 2 4 + M ⋅ 9 m 2 v 0 2 4 M 2

Podemos dividir tudo por m v 0 2 , aí sobra:

1 = 1 4 + 9 m M 4 M 2 = 1 4 + 9 m 4 M

⇒ 9 m 4 M = 3 4

⇒ m M = 4 9 ∙ 3 4 = 3 9 = 1 3

Então pra colisão ser elástica, devemos ter

m M = 1 3

Resposta

c m M = 1 3

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