Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Sejam os vetores u = ( 2 , - 3,2 ) e v = ( - 1 ,   2,4 ) em R 3

a   Escreva o vetor w = ( 7 , - 11,2 ) como combinação linear de u e v

b   Para que valor de k o vetor ( - 8,14 , k ) é combinação linear de u e v ?

c   Determinar uma condição entre a , b e c para que o vetor ( a , b , c ) seja uma combinação linear de u e v .

Passo 1

Letra ( a )

Para escrever o vetor w como C L de u , v queremos o seguinte:

w = a u + b v

Ou seja, temos que achar os coeficientes de u , v que satisfazem essa equação:

w = a u + b v

Podemos montar um sistema com os coeficientes

Vamos isolar a na I I I :

2 = 2 a + 4 b

1 = a + 2 b

a = 1 - 2 b

Agora substituímos em ( I ) :

7 = 2 1 - 2 b - b

7 = 2 - 4 b - b

5 = - 5 b

b = - 1

E por fim substituímos o valor de b para encontrar a I I I :

2 = 2 a + 4 b

1 = a + 2 b

a = 1 - 2 b

a = 1 - 2 - 1 = 3

a = 3

Passo 2

Muita calma agora! Se o sistema só tivesse as equações ( I ) e ( I I I ) estaria sussa e poderíamos terminar por aqui. Entretanto, jovem padawan, temos que ver se os resultados achados satisfazem a outra equação não usada, no caso a ( I I ) :

- 11 = - 3 3 + 2 - 1

- 11 = - 9 - 2 = - 11 ⇒ 7 , - 11,2 = a 2 , - 3,2 + b - 1,2 , 4

- 11 = - 11

Ufa! Deu tudo certo! Então a nossa combinação fica assim:

w = 3 u - v

Não se esqueça de sempre conferir isso ;)

Passo 3

Letra ( b )

Mesma coisa que a letra ( a )

Na primeira equação podemos isolar o b :

- 8 = 2 a - b

b = 2 a + 8

E substituir na segunda equação:

14 = - 3 a + 2 b

3 a = 2 b - 14

3 a = 2 ( 2 a + 8 ) - 14

a = - 2

E por fim podemos encontrar o valor de b :

b = 2 a + 8

b = 2 ( - 2 ) + 8

b = 4

Bom, percebe que temos 3 equações? Então, com as duas primeiras já dá pra achar a , b . Mas e a terceira serve pra que??? Bom a gente pega os valores de a , b e substitui para achar k :D:

Encontrando k :

k = 2 - 2 + 4 ⋅ 4 ⇒

k = 12

Passo 4

Letra ( c )

Para determinar um condição precisamos montar uma C L com o vetor ( a , b , c ) . Desta vez vou chamar os coeficientes de u , v de k 1 ,   k 2 respectivamente.

a , b , c = k 1 2 , - 3,2 + k 2 - 1,2 , 4

Vamos montar o sistema:

Vamos primeiro isolar o k 2 na primeira equação:

a = 2 k 1 - k 2

k 2 = 2 k 1 - a

E substituir na segunda equação para encontrar k 1 em função de a   e   b :

Podemos voltar na primeira equação e encontrar o valor de k 2 substituindo o valor de k 1 :

E por fim , substituir os valores de k 1 e k 2 na terceira equação para encontrar o valor de c em função de a   e   b :

Em outras palavras, o que resolvi aí em cima, foi achar os coeficientes k 1 ,   k 2 que satisfaçam a combinação linear que estipulamos. Como consequência desses resultados, conseguimos achar uma relação entre a , b , c necessária para existir a combinação linear.

Resposta

a   w = 3 u - v

b   k = 12

c   c = 16 a + 10 b

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