Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal e Soma Direta

PUCRIO, Álgebra Linear I - MAT1200, P4 - 2015.1, Questão 1

À questão “No espaço Equation munido do produto interno usual, calcule o complemento ortogonal de Equation ”, Biazinha escreveu:

Equation Defina “complemento ortogonal de um subespaço vetorial Equation

Equation Sem mostrar a resposta correta para Biazinha, como você a convenceria que resposta está errada?

Equation Calcule corretamente Equation .

Equation Seja Equation a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial Equation acima. Calcule Equation ,onde Equation é a base canônica de Equation .

Passo 1

Letra Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra Equation

Como Equation é um espaço de dimensão Equation no Equation , então seu complemento ortogonal deve ter dimensão Equation já que:

Equation

Assim, podemos ver que Biazinha achou um complemento ortogonal de dimensão Equation , e sem verificar as contas, já podemos ver que sua resposta está errada.

Passo 3

Letra Equation

Lembre-se! Para calcular o complemento ortogonal basta fazer o produto interno dos vetores de Equation com um elemento genérico do domínio:

Equation

Equation

Equation

Assim os nossos vetores de Equation tem “essa cara”:

Equation

Portanto podemos ver que:

Equation

Passo 4

Letra Equation

O enunciado pediu a matriz escrita nos vetores da base canônica:

Equation

Ihh, mas esses vetores não pertencem a Equation e nem a Equation . Por isso, será preciso acharmos a expressão da nossa Equation , que nem fazemos com uma Equation normal. Para isso usaremos a base de Equation e seu complemento ortogonal:

Equation

Equation

Aplicando Equation dos dois lados e usando o fato de Equation ser linear:

Equation

Equation

Lembrando que como Equation , Equation .

Passo 5

Agora vamos achar a relação entre Equation e Equation :

Equation

Equation

Equation

Como neste caso, só precisamos do valor de Equation , não vamos perder tempo calculando o resto.

Equation

Equation

Passo 6

Agora, podemos calcular as imagens dos vetores da base canônica.

Equation

Equation

Equation

E assim:

Equation

Resposta

c) Equation

d) Equation

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