Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Elaboração própria

Foi pedido a Carolzinha que provasse a proposição:

“Se Equation são ortogonais a Equation , então Equation , sendo Equation é base de Equation

Assim Carolzinha deu a seguinte resposta:

“Devemos primeiramente construir a base de Equation . E assim, Equation é uma possível base de Equation . Assim, vamos fazer o seguinte:

Equation

Equation

Equation

Usando as propriedades do produto interno:

Equation

Equation

Equation

E assim, aplicando a hipótese, vamos ter em todos os casos Equation . E assim, como Equation , é verdade que Equation

Sabendo que Carolzinha está errada, qual foi o erro de Carolzinha?

Passo 1

Carolzinha fez o produto interno de Equation , que queríamos saber se pertencia à Equation , com os vetores da base de Equation e igualou a zero. Isso quer dizer que ela achou que o complemento ortogonal é formado por vetores ortogonais, e isso não é necessariamente verdade.

O complemento ortogonal não é um conjunto ortogonal, ele é ortogonal aos vetores de Equation .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que Carolzinha deveria ter feito era ter utilizado o fato de que, se Equation são ortogonais a Equation , então:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Assim basta somar Equation :

Equation

Equation

Equation

Passo 3

-

Reorganizando:

Equation

Equation

Equation

E assim, vemos que Equation é exatamente o complemento ortogonal.

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