Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2015.1, Questão 3

Calcule o comprimento da curva definida pelo gráfico de f x = 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t com x entre 1 e 3 . Dica: não tente resolver a integral que defini f x , ela é muito difícil.

Passo 1

Vamos lá, se o cara deu a dica para resolver é claro que nós vamos seguir, né? Então, sendo f dada por uma integral, que não vamos resolver, e se queremos o comprimento dela como é que a gente vai fazer?

Lembra o seguinte: para achar o comprimento de uma função a gente não precisa da função explícita e sim de sua derivada!

E derivar uma integral nós sabemos, isso pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

f ' x = 1 x - 1 + t 2 + t 3 d t '

= - 1 + x 2 + x 3 x '

= - 1 + x 2 + x 3

Agora é só aplicar a fórmula do comprimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá, a gente quer aplicar a função dada e os limites na fórmula do comprimento, que é essa aqui embaixo:

L = a b 1 + f ' x 2   d x

Os Limites de integração foram dados, a = 1 e b = 3 . Com o f ' x que já calculamos, fica assim:

L = 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3 2   d x

= 1 3 1 + - 1 + x 2 + x 3   d x

= 1 3 x 2 + x 3   d x = 1 3 x 1 + x   d x

Passo 3

A gente pode fazer esse cara por partes, da seguinte maneira:

u = x d u = d x

d v = x + 1 d x v = x + 1 3 2 3 2

1 3 x 1 + x   d x = 2 x x + 1 3 2 3 - 2 x + 1 3 2 3 d x [ 3 1

= 2 x x + 1 3 2 3 - 4 x + 1 5 2 15 [ 3 1

= 2 3 3 + 1 3 2 3 - 4 3 + 1 5 2 15 - 2 1 1 + 1 3 2 3 - 4 1 + 1 5 2 15

= 16 - 128 15 - 4 2 3 - 16 2 15

= 112 - 4 2 15

Resposta

L = 112 - 4 2 15   u . c .

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