Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2015.2, Questão 4

Seja

F x = 0 x sec 2 t - 2   d t

Calcule o comprimento de arco do gráfico da função F x para x π 4 , π 3 .

Passo 1

Comprimento de arco não tem erro, é aplicar a fórmula!

π 4 π 3 1 + F ' x 2 d x

Derivamos a F usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

F ' x = sec 2 x - 2

Simples assim!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só substituir na fórmula:

π 4 π 3 1 + sec 2 x - 2 2 d x

= π 4 π 3 1 + sec 2 x - 2   d x = π 4 π 3 sec 2 x - 1   d x

Passo 3

Nessa hora é crucial lembrar da identidade trigonométrica:

tg 2 x = sec 2 x - 1

Isso facilita nossa vida pra cacete, a integral vai ficar:

π 4 π 3 tg 2 x d x = π 4 π 3 tg x d x

Passo 4

A integral da tangente é bem batida, acho que se você souber de cor não tem problema botar ela direto na prova. Mas se você não lembrar, acha rapidinho!

  tg x d x = sen x cos x d x

Fazendo a substituição simples

u = cos x d u = - sen x d x

Temos:

tg x d x = - d u u

= - ln u = - ln cos x

Nem precisa, mas ainda dá pra botar numa outra forma, aproveitando que ln 1 = 0 :

tg x d x = ln 1 - ln cos x

Aproveitando também da propriedade do logaritmo que ln a - ln b = ln a b :

tg x d x = ln 1 cos x = ln sec x

Passo 5

Beleza, então o comprimento de arco é igual a:

π 4 π 3 tg x d x = ln sec x π 4 π 3

= ln sec π 3 - ln sec π 4

Temos que

cos π 3 = 1 2 sec π 3 = 2

cos π 4 = 2 2 sec π 4 = 2 2 = 2

Então nossa conta vai dar:

ln 2 - ln 2 = ln 2 2 = ln 2

Esse é o valor do comprimento de arco!

Resposta

ln 2

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