Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2015.2, Questão 3

Seja:

f x = 0 x t t 2 + 2 d t

Calcule o comprimento da curva para x 0,2 .

Passo 1

O comprimento de uma curva f ( x ) num intervalo 0,2 é: 0 2 1 + f ' x 2 d x

Então vamos começar calculando essa derivada.

f ' x = d d x 0 x t t 2 + 2 d t

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

0 x t t 2 + 2 d t = F x - F ( 0 )

Tal que F ' x = x x 2 + 2 , que é o integrando com argumento x . Substituindo na derivada, teremos: f ' x = d d x 0 x t t 2 + 2 d t = d d x F x - F ( 0 ) = F ' x = x x 2 + 2  

Opa! Achamos f ' ( x ) , vamos determinar f ' x 2 agora:

f ' x 2 = x x 2 + 2 2 = x 2 x 2 + 2 = x 4 + 2 x 2

Agora, substituímos na integral:

0 2 1 + f ' x 2 d x = 0 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora resolver essa integral. Podemos escrever o integrando na forma:

x 4 + 2 x 2 + 1 = x 2 + 1 2 = x 2 + 1

Assim, temos:

0 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x = 0 2 x 2 + 1 d x = x 3 3 + x 0 2 = 8 3 - 0 + 2 - 0 = 8 3 + 2 = 8 + 6 3

= 14 3 u . c .

Sem esquecer do u . c . que indica unidade de comprimento.

Resposta

= 14 3 u . c .

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