Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral I, Banco de Questões - Estácio - AV2, Questão 12

Supondo que uma função f tenha derivada contínua para a x b então o comprimento da parte do gráfico y = f ( x ) para a x b é:

a b 1 + f ' x 2   d x

Calcule o comprimento do gráfico de y = 2 x 2 + 1 3 3 / 2 de x = 1 até x = 2

(a) 15

(b) 13

(c) 14

(d) 10

(e) 7

Passo 1

Aqui não tem segredo é só aplicar a fórmula que o enunciado deu.

O primeiro passo é calcular a derivada da função:

d y d x = 2 x 2 + 1 3 3 / 2

Parece complicado né? Vamos com calma. Primeiro tiramos a constante:

d y d x = 2 d d x x 2 + 1 3 3 / 2

Agora vamos usar a regra da cadeia, chamando u = x 2 + 1 / 3

d y d x = d y d u d u d x

y ' = 2 d u 3 2 d u d u d x

Resolvendo cada uma dessas derivadas:

d u 3 2 d u = 3 2 u 1 / 2 = 3 2 x 2 + 1 3 1 2  

d u d x = d d x x 2 + 1 3 = 2 x

E agora é só multiplicar tudo:

y ' = 2 d u 3 2 d u d u d x

y ' = 2 3 2 x 2 + 1 3 1 2 2 x

y ' = 6 x x 2 + 1 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos voltar para nossa fórmula:

a b 1 + f ' x 2   d x

Substituindo os valores, ficamos com a seguinte integral:

L = 1 2 1 + 6 x x 2 + 1 3 2   d x

Ótimo, agora vamos elevar aquele parênteses ao quadrado:

L = 1 2 1 + 36 x 2 x 2 + 1 3   d x

L = 1 2 1 + 36 x 4 + 12 x 2   d x

Agora é só resolver essa integral.

Passo 3

Vamos começar reescrevendo esse polinômio para facilitar nossa vida. É preciso ter alguma intuição aqui:

36 x 4 + 12 x 2 + 1

Percebe que o primeiro e o último termo são quadrados perfeitos?

36 x 4 = 6 x 2 2

1 = 1 2

Isso tem cara de produto notável, vamos ver se funciona:

6 x 2 + 1 2

Abrindo isso encontramos:

6 x 2 + 1 2 = 36 x 4 + 12 x 2 + 1

Ótimo, deu certo de primeira. Vamos colocar isso na integral:

L = 1 2 1 + 36 x 4 + 12 x 2   d x = 1 2 6 x 2 + 1 2   d x

L = 1 2 6 x 2 + 1   d x

Agora a integral desse polinômio é simples: 6 x 3 3 + x , então substituindo os limites de integração:

L = 6 ( 2 ) 3 3 + 2 - 6 1 3 3 - 1

L = 16 + 2 - 2 - 1 = 15

Pronto! Esse é o comprimento do arco!

Resposta

Letra (a).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas