Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco

Elaboração própria

Calcule o comprimento do arco enunciado abaixo:

y = arccos ( e x ) ,                     0 x ln 1 2

Passo 1

Sério cara, seus pais já devem ter te ensinado a ser humilde né. Então me diz: Você realmente lembrar a derivada do arco-cosseno? Pode até ser que sim, mas a essa altura do campeonato é foda de recordar de absolutamente tuuudo por aí.

Agora vem a boa: quem disse que precisamos dessa derivada para matar a questão, heim?

A função está escrota; os limites estão escrotos; por que não mudamos tudo e integramos para y , e não para x ?

y = arccos ( e x )

cos y = e x

x = ln cos y

Ok, também não está nada bonito, mas pelo menos você deve lembrar mais facilmente da derivada do ln x e do cos x . E os limites? Bom, joga na equação e pronto, descobre os novos:

y 0 = arccos e 0 = arccos 1 = 0      

(ou qualquer múltiplo inteiro de   2 π )  

y ln 1 2 = arccos e ln 1 2 = arccos 1 2 = π 3

( ou   π 3   mais qualquer múltiplo inteiro de   2 π )

Bom, como você tem que pegar um intervalo que cresça do primeiro para o segundo esse deve ser qualquer intervalo com essa cara:

0 + 2 π . k y π 3 + 2 π . k

( onde   k   é qualquer múltiplo inteiro )

Vou pegar o mais óbvio, mas tanto faz:

0 y π 3           ;           ( k = 0 )

Bem melhor esse limite aí!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora caímos no passo-a-passo de sempre:

x ' = f ' y = d ln cos y d y = cos y ' cos y = - sen y cos y = - tg y

O termo a ser integrado agora:

1 + f ' y 2 = 1 + - tg y 2 = 1 + tg 2 y

Opa! Existe uma relação fundamental aí, né?

1 + tg 2 y = sec 2 y

1 + tg 2 y = sec 2 y = sec y

Ok, agora é integrar!

L = a b 1 + f ' y 2 d y = 0 π / 3 sec y d y

Essa é uma integral que também é meio chata de lembrar, mas vou te elucidar:

sec y = ln sec y + tg y

Aplicando agora os limites:

ln sec π 3 + tg π 3 - ln sec 0 + tg 0 = ln 2 + 3 - ln 1 + 0 = ln 2 + 3 - ln 1

= ln 2 + 3

Acabou!

Resposta

L = ln 2 + 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas