Exercícios Resolvidos de Cone e Parabolóides

UFRJ, Cálculo 2, P1 - 2012.2, Questão 4a

S 1 :   2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1 e S 2 :   z = x 2 + y 2

Faça um esboço das superfícies S 1 e S 2 , separadamente, destacando as curvas de interseção com os planos coordenados x = 0 , y = 0 e z = 0 .

Passo 1

Identificar S 1 :

2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1

Temos um sinal negativo:

Logo, a superfície é um hiperboloide de uma folha e o eixo está em z , pois é o termo negativo na equação:

x = 0 3 y 2 - z 2 = 1 → Hipérbole

y = 0 2 x 2 - z 2 = 1 → Hipérbole

z = 0 2 x 2 + 3 y 2 = 1 → Elipse

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Identificar S 2 :

z = x 2 + y 2

z 2 = x 2 + y 2

Essa é a equação de um cone circular.

Mas como z = x 2 + y 2 > 0 , então o gráfico dessa superfície é apenas a parte superior do cone:

x = 0 z = y 2 = y → Retas

y = 0 z = x 2 = x → Retas

z = 0 x 2 + y 2 = 0 x = y = 0 → Ponto

Resposta

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