Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFRJ, Álgebra Linear, P4 - 2018.1, Questão 10

Considere as afirmativas abaixo:

I – A equação Equation não possui solução.

I – A equação Equation não possui solução.

(a) Ambas são falsas.

(b) Ambas são verdadeiras.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é falsa e II é verdadeira.

Passo 1

Vamos reescrever a expressão do primeiro item:

Equation

Equation

Equation

Do lado direito, temos um termo ao quadrado igual a um número negativo, e isso nunca pode ocorrer!

Então a afirmação é verdadeira: a equação não tem solução pois não existem x e y que a satisfaçam.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se a gente tentar fazer a mesma coisa para a expressão do segundo item, vamos precisar completar quadrados.

Somando e subtraindo 2xy, vamos ficar com:

Equation

Equation

Equation

E não vamos conseguir tirar nada daí :p

Nesse caso não vai ter jeito, vamos ter que fazer aquele processo de passar para um sistema de eixos cartesianos mais conveniente pra gente.

Passo 3

Temos a equação geral:

Equation

Mas a nossa expressão é:

Equation

Identificando os coeficientes:

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Vamos escrever isso na forma matricial, que é:

Equation

Equation

Agora precisamos achar uma base ortogonal para escrever essa equação de uma forma melhor.

Então vamos calcular os autovalores e autovetores da matriz:

Equation

O polinômio característico vai ser:

Equation

Os autovalores são as raízes desse polinômio:

Equation

Equation

Equation

Agora temos que achar os autovetores!

Para Equation :

Equation

Ficamos com o sistema:

Equation

De onde tiramos que:

Equation

Então os autovalores vão ser da forma:

Equation

O autoespaço de Equation é gerado pelo vetor (1,1). Normalizando:

Equation

Agora vamos fazer a mesma coisa pra Equation :

Equation

Ficamos com o sistema:

Equation

De onde tiramos que:

Equation

Então os autovalores vão ser da forma:

Equation

O autoespaço de Equation é gerado pelo vetor (-1,1). Normalizando:

Equation

Agora temos a base ortonormal:

Equation

Escrevendo esses vetores nas colunas de uma matriz N:

Equation

A matriz M de autovalores correspondente é:

Equation

Então, fazendo uma mudança de variáveis e denotando as novas variáveis por Equation e Equation , vamos ter que a forma matricial da nossa expressão vai ficar:

Equation

Equation

Equation

Equation

Agora temos do lado esquerdo a soma de dois quadrados sendo igualada a um número negativo, e isso nunca vai poder ocorrer!

Logo, a equação

Equation

Não tem solução, portanto a equação que ela representa nos eixos x e y, que era a nossa equação original do enunciado:

Equation

Também não tem solução e a afirmação é verdadeira.

Resposta

(b) Ambas são verdadeiras.

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