Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2018.1, Questão 1

Encontre uma equação reduzida para a cônica e faça um esboço:

C : 11 x 2 - 24 x y + 4 y 2 + 20 = 0

Passo 1

Iiih, galera, se apareceu esse termo x y é porque vamos ter que mexer com rotação de cônicas... Isso dá um trabalhinho, mas nada que a gente não seja capaz de resolver. Então bora lá! Vamos primeiro identificar os coeficientes, comparando com a cônica genérica:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

A = 11 ,   B = - 24 ,   C = 4 ,   D = E = 0 ,   F = 20

O ângulo θ de rotação a gente vai tirar lá daquela fórmula:

t g 2 θ = B A - C = - 24 7 cot 2 θ = - 7 24

E aí, os novos coeficientes da quádrica vão ser:

A ' + C ' = A + C = 15 A ' - C ' = b s e n 2 θ = - 24 s e n 2 θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos então chegar nesse seno que tá faltando.

s e n 2 2 θ + c os 2 2 θ = 1

Dividindo tudo por s e n 2 2 θ :

cot 2 2 θ + 1 = csc 2 2 θ  

- 7 24 2 + 1 = csc 2 2 θ

csc 2 θ = 25 24

s e n 2 θ = 24 25

Passo 3

Substituindo:

A ' + C ' = 15 A ' - C ' = - 25

Resolvendo, vamos obter:

A ' = - 5 C ' = 20

Então, no novo sistema de coordenadas, vamos encontrar:

- 5 u 2 + 20 v 2 + 20 = 0

u 2 4 - v 2 = 1

Essa cônica é uma hipérbole!

Resposta

u 2 4 - v 2 = 1

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