Exercícios Resolvidos de Cônicas

Gelson Iezzi, Fundamentos da Matemática Elementar, 7: geometria analítica, 5ªed. São Paulo: Atual, 2002, pp – 189 – 393 a,b,c – modificado

Caracterize a cônica representada por cada uma das equações abaixo e faça seu gráfico:

a) 9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

b) y 2 - 4 x - 6 y + 13 = 0

c) 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

Passo 1

  1. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  2. 9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

    Perceba que tanto x quanto y estão elevados ao quadrado e os seus sinais são iguais (ambos positivos).

    Passo 2

    Das cônicas que vimos na teoria, apenas a circunferência e a elipse tinham as duas variáveis elevadas ao quadrado e com o mesmo sinal. Provavelmente, a cônica dada nessa questão será uma delas.

    Para provar isso, vamos ajustar a equação dada completando os quadrados. Vamos começar ajustando os termos dependentes de x . Temos:

    9 x 2 - 36 x

    Podemos colocar o 9 em evidência:

    9 ( x 2 - 4 x )

    Vamos agora completar os quadrados da parte de dentro dos parênteses.

    Perceba que ( x 2 - 4 x ) nos faz lembrar x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 . A única diferença é que esse “+4” aí não aparece. Podemos ajustar. Temos:

    9 x 2 - 4 x = 9 ( x 2 - 4 x + 4 - 4 )

    Eu apenas somei 4 e subtraí 4 dentro dos parênteses. Agora, temos o seguinte:

    9 x 2 - 4 x = 9 x 2 - 4 x + 4 - 4 = 9 x - 2 2 - 4 = 9 x - 2 2 - 36

    Ou seja:

    9 x 2 - 36 x = 9 x - 2 2 - 36

    Passo 3

    Desenvolvendo o mesmo raciocínio para os termos dependentes de y temos:

    5 y 2 + 50 y

    Colocando em evidência:

    5 ( y 2 + 10 y )

    O termo ( y 2 + 10 y ) nos faz lembrar y + 5 2 = y 2 + 10 y + 25 . Podemos fazer o seguinte:

    5 y 2 + 10 y = 5 y 2 + 10 y + 25 - 25 = 5 y + 5 2 - 25 = 5 y + 5 2 - 125

    Ou seja:

    5 y 2 + 50 y = 5 y + 5 2 - 125

    Passo 4

    Substituindo na equação da cônica dada temos:

    9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

    9 x 2 - 36 x + 5 y 2 + 50 y - 164 = 0

    9 x - 2 2 - 36 + 5 y + 5 2 - 125 - 164 = 0

    Ajeitando a equação:

    9 x - 2 2 + 5 y + 5 2 = 325

    9 x - 2 2 325 + 5 y + 5 2 325 = 1

    Chegamos então à:

    x - 2 2 325 9 + y + 5 2 325 5 = 1

    Que é a equação de uma elipse com centro em ( 2 , - 5 ) e semieixos a = 325 9 e b = 325 5 .

    Passo 5

    Vamos fazer seu gráfico. Marcamos o centro e os semieixos e desenhamos a elipse. Fica:

    Passo 6

  3. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  4. y 2 - 4 x - 6 y + 13 = 0

    Perceba que x tem grau 1 porém y aparece com grau 2. Desconfiamos fortemente de uma parábola.

    Passo 7

    Arrumando a equação temos:

    4 x - 13 = y 2 - 6 y

    Vamos colocá-la na forma geral da parábola:

    4 p x - x 0 = y - y 0 2

    Ajeitando os quadrados fica:

    4 x - 13 = y - 3 2 - 9

    4 x - 4 = y - 3 2

    4 x - 1 = y - 3 2

    Que é exatamente a equação da parábola com vértice em V = ( 1,3 ) e foco F = 1 + 1,3 = ( 2,3 )

    Passo 8

    Para fazer seu esboço primeiro perceba que a variável elevada ao quadrado é y . Marque o vértice   V = ( 1,3 ) . Fica:

    Passo 9

  5. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:

5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

Perceba que tanto x quanto y estão elevados ao quadrado porém seus sinais são opostos. Desconfiamos de uma hipérbole.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos tentar colocar essa equação na forma:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Ou

y - y 0 2 b 2 - x - x 0 2 a 2 = 1

Vamos ajeitar os quadrados referentes a variável x :

5 x 2 + 30 x = 5 x 2 + 6 x = 5 ( x + 3 2 - 9 ) = 5 x + 3 2 - 45

Passo 3

Fazendo o mesmo para a variável y temos:

- 4 y 2 + 16 y = - 4 y 2 - 4 y = - 4 y - 2 2 - 4 = - 4 y - 2 2 + 16

Passo 4

Substituindo na equação: 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

5 x 2 + 30 x - 4 y 2 + 16 y + 49 = 0

5 x + 3 2 - 45 - 4 y - 2 2 + 16 + 49 = 0

5 x + 3 2 - 4 y - 2 2 = - 20

Tem de aparecer 1 do lado direito, então vamos dividir tudo por - 20 :

y - 2 2 5 - x + 3 2 4 = 1

Portanto a equação é uma hipérbole com centro em ( - 3,2 ) e vértices em - 3,2 + 5 e - 3,2 - 5 .

Passo 5

Para fazer seu gráfico, marcamos o centro e os vértices. Fica:

Resposta

  1. Elipse com centro em ( 2 , - 5 ) e semieixos a = 325 9 e b = 325 5 .
  2. Parábola com vértice em V = ( 1,3 ) e foco F = ( 2,4 )
  3. Hipérbole com centro em ( - 3,2 ) e vértices em - 3,2 + 5 e - 3,2 - 5

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