Exercícios Resolvidos de Construindo Matrizes e TLs

Elaboração Própria

Encontre a matriz que produz as transformações abaixo:

a   Uma reflexão em torno da reta x = 3 y no R 2

b   Uma projeção na reta gerada pelo vetor 1 , - 1,0

c   Uma projeção no plano x + y - w = 0 y - z = 0 no R 4

Passo 1

a   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que queremos e então construímos a matriz usando a fórmula A = P D P - 1 .

Uma reflexão possui autovalores - 1 e 1 . Como estamos refletindo em torno da reta cuja equação é x = 3 y , o autovetor associado ao autovalor 1 será um vetor gerador da reta.

Os vetores dessa reta são da forma:

3 y , y = y 3,1

Logo, temos o autovetor 3,1 associado ao autovalor 1 .

Já o autovetor associado ao autovalor - 1 é algum vetor perpendicular à 3,1 . Vamos usar o - 1,3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:

D = 1 0 0 - 1

P = 3 - 1 1 3

P - 1 = 1 det ⁡ P 3 1 - 1 3 = 1 10 3 1 - 1 3

Então nossa matriz é:

A = 1 10 3 - 1 1 3 1 0 0 - 1 3 1 - 1 3 = 1 5 4 3 3 - 4

Passo 3

b   Beleza, vamos achar os autovalores e autovetores que são pedidos.

Uma projeção possui autovalores 0 e 1 . Como estamos projetando na reta gerada por 1 , - 1,0 , ele será um autovetor associado ao autovalor 1 .

Já o autoespaço associado ao autovalor 0 será o plano ortogonal à reta. Para gerar esse plano precisamos de dois vetores L I que sejam ortogonais a 1 , - 1,0 .

1 , - 1,0 , x , y , z = 0 ⇒ x - y = 0 ⇒ x = y

Então podemos usar os vetores 1,1 , 0 e 0,0 , 1 como autovetores associados ao autovalor 0 .

Como os vetores são ortogonais entre si, vamos normalizá-los pra facilitar a inversão:

1 , - 1,0 1 , - 1,0 = 1 , - 1,0 2 = 1 2 , - 1 2 , 0

1,1 , 0 1,1 , 0 = 1,1 , 0 2 = 1 2 , 1 2 , 0

Passo 4

Agora vamos montar nossas matrizes pra jogar na fórmula:

D = 1 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1

P - 1 = P T = 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1

Então nossa matriz é:

A = 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 = 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 0

Passo 5

c   De novo, vamos achar os autovalores e autovetores que fazer o que e enunciado está pedindo.

Como é uma projeção temos os autovalores 1 e 0 . Estamos refletindo em torno do plano abaixo:

x + y - w = 0 ⇒ w = x + y y - z = 0 ⇒ y = z

Então os vetores desse plano tem essa cara:

x , y , y , x + y = x 1,0 , 0,1 + y 0,1 , 1,1

Chegamos então aos autovetores 1,0 , 0,1 e 0,1 , 1,1 associados ao autovalor λ = 1 .

Agora os vetores que geram o plano ortogonal (lembre-se que estamos no R 4 ) podem ser dados pela equação do plano:

x + y - w = 0 ⇒ 1,1 , 0 , - 1

y - z = 0 ⇒ 0,1 , - 1,0

Então temos os autovetores 1,1 , 0 , - 1 e 0,1 , - 1,0 associados ao autovalor λ = 0 .

Passo 6

Agora vamos ajeitar esses valores nas matrizes:

D = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

P = 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0

Agora precisamos achar a inversa de P :

1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 → L 4 ← L 4 - L 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 0 1 - 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 - 1 0 0 1 → L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 - L 2

→ L 3 ← L 3 - L 2 L 4 ← L 4 - L 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 - 2 0 0 - 3 - 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 - 1 0 1 → L 4 ← L 4 - 3 L 3

→ L 4 ← L 4 - 3 L 3 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 - 1 - 2 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 1 0 - 1 2 - 3 1 → L 3 ← - L 3

→ L 3 ← - L 3 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 2 - 3 1 → L 4 ← L 4 5

→ L 4 ← L 4 5 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 - 1 0 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5 → L 3 ← L 3 - 2 L 4 L 2 ← L 2 - L 4

→ L 3 ← L 3 - 2 L 4 L 2 ← L 2 - L 4 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 5 3 5 3 5 - 1 5 2 5 1 5 1 5 - 2 5 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5 → L 2 ← L 2 - L 3 L 1 ← L 1 - L 3

→ L 2 ← L 2 - L 3 L 1 ← L 1 - L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 5 - 1 5 - 1 5 2 5 - 1 5 2 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1 5 - 2 5 - 1 5 2 5 - 3 5 1 5

Ufa! Finalmente encontramos nossa matriz inversa:

P - 1 = 1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 2 1 1 - 2 - 1 2 - 3 1

Agora é só fazer o produto:

A = 1 5 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 1 1 - 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 2 1 1 - 2 - 1 2 - 3 1 = 1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 - 1 2 2 1 2 1 1 3

Resposta

a   1 5 4 3 3 - 4

b 1 2 - 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 0  

c   1 5 3 - 1 - 1 2 - 1 2 2 1 - 1 2 2 1 2 1 1 3

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