Exercícios Resolvidos de Continuidade de Funções de Várias Variáveis

UNICAMP, Cálculo 2, P1 - 2018.1, Questão 2b

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua:

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2     ,     x , y ( 0,0 ) 1     ,     x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?

A primeira coisa é a gente observar que essa função é definida por partes. Então precisamos analisar a continuidade dela em cada uma dessas partes.

Bom, para x , y ( 0,0 ) a nossa função é simplesmente

f 1 x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2

E isso é o quociente entre duas funções clássicas, que são as funções polinomiais.

E, funções clássicas nós já sabemos que são contínuas em todo o seu domínio.

Show, porque o domínio dessa função f 1 é justamente x , y 0,0 .

Então, para x , y ( 0,0 ) nossa função é contínua.

Resta apenas agora verificarmos se ela é contínua em x , y , = ( 0,0 ) .

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Passo 2

A primeira parte dessa função não pode conter o ponto ( 0,0 ) , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tender a ( 0,0 ) deve ser 1, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).

Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a ( 0,0 )

lim x , y 0,0 x 2 y 3 2 x 2 + y 2

Como essa expressão tem uma indeterminação do tipo 0 0 , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!

Passo 3

Observe que podemos reescrever esse limite da seguinte forma:

x 2 y 3 2 x 2 + y 2 = y 3 x 2 2 x 2 + y 2

Ok, agora temos

lim x , y 0,0 y 3 x 2 2 x 2 + y 2

Passo 4

A hora do Teorema do Sanduíche chegou!

Observe que podemos dizer que

x 2 0

E também

x 2 2 x 2 + y 2

Certo? Esse segundo é porque uma coisa é sempre menor que o dobro dessa coisa. Ainda mais se o dobro dessa coisa tiver somado a mais uma coisa que sabemos que é sempre maior ou igual a zero.

Assim,

0 x 2 2 x 2 + y 2

Passo 5

Agora estamos quase chegando na expressão da função. Podemos então dividir todo mundo por 2 x 2 + y 2 :

0 x 2 2 x 2 + y 2 1

Opaaaaa, então a gente conseguiu limitar nossa função.

Passo 6

Só lembrando então, queríamos calcular o limite

lim x , y 0,0 y 3 x 2 2 x 2 + y 2

E aí descobrimos que a função x 2 2 x 2 + y 2 é uma função limitada.

Além disso, se a gente observar, temos que

lim x , y 0,0 y 3 = 0

Dessa forma, temos o limite de uma função que vai a zero, vezes uma função que é limitada.

Assim, pelo teorema do anulamento, podemos dizer que o limite

lim x , y 0,0 y 3 x 2 2 x 2 + y 2 = 0

Passo 7

Opaaaa, mas pra função ser contínua, a gente viu no passo 2, que esse limite precisava valer 1.

Então, a função não é contínua para x , y = 0,0 .

Mas, como já tínhamos visto antes, a função é contínua para x , y ( 0,0 ) .

Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua é o conjunto

D = x , y R 2   ; x , y 0,0  

Resposta

D = x , y R 2   ; x , y 0,0  

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