Exercícios Resolvidos de Continuidade

Limites e continuidade

Com relação a

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 4 + y 2

pode-se afirmar que:

  1. O limite nao existe
  2. O limite existe e é igual a 0
  3. O limite existe e é igual a 1
  4. O limite existe e é igual a 2
  5. O limite existe e é igual a - 3
  6. Nenhuma das demais alternativas é verdadeira

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x 4 + y 2 = 0 . ( 0 ) ( 0 ) 4 + ( 0 ) 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica.

E além disso, temos x e y somados com expoentes diferentes.

Então suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x 2 ,   m > 0 e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 4 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x m x 2 x 4 + m x 2 2

lim x → 0 ⁡ m x 3 x 4 + m 2 x 4 = lim x → 0 ⁡ m x 3 x 4 1 + m 2

lim x → 0 ⁡ m x 1 + m 2 = m 1 + m 2 lim x → 0 ⁡ 1 x ⟶ ∞

Então esse limite está tendendo para o infinito.

Logo, não existe limite!

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a)

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