Exercícios Resolvidos de Continuidade

Limites e Continuidade

Seja

f x , y = x y x 2 + y 2 s e   y > x x + y s e   y ≤ x

Então f possui:

(a) infinitos pontos de descontinuidade

(b) apenas um ponto de descontinuidade

(c) nenhum ponto de descontinuidade

(d) apenas dois pontos de descontinuidade

(e) nenhuma das outras opções

Passo 1

Se y ≤ x , f x , y = x + y , que é claramente uma função contínua.

E se y > x , f x , y = x y x 2 + y 2 .

Poderíamos ter uma descontinuidade se o denominador se anulasse. Mas teríamos que ter x 2 + y 2 = 0 ⇒ y = x = 0 . Mas y > x logo a função é contínua em suas partes separadas. Agora nos resta determinar se ela é contínua na fronteira entre essas duas partes. E a fronteira é a reta y = x , certo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos calcular o limite da função num ponto ( x 0 , y 0 ) pelos 2 lados da reta. Primeiro pelo lado que seria “por cima” da reta:

lim y 0 → x 0 + ⁡ f x 0 , y 0 =   lim y → x + ⁡ x 0 x 0 x 0 2 + x 0 2 = lim y → x + ⁡ x 0 2 2 x 0 2 = 1 2  

E agora “por baixo” da reta:

lim y 0 → x 0 - ⁡ f x 0 , y 0 = x 0 + x 0 = 2 x 0

E 2 x 0 = 1 2 ⇔ x 0 = 1 4

Ou seja, os limites estão de acordo em somente um ponto! Pra todos os outros valores vão ter pontos de descontinuidade.

Resposta

Alternativa (a)

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