Exercícios Resolvidos de Continuidade

Elaboração Própria

Calcule o valor das constantes a e b para que a função abaixo seja contínua em x = 0 .

f ( x ) = 1 x + 2 ,       s e   x < 0 a ,       s e   x = 0 sen ( b x ) x ,       s e   x > 0

Passo 1

Para que a função seja contínua em x = 0 , precisamos que:

lim x 0 f ( x ) = f ( 0 )

No caso, temos que:

f 0 = a

Mas não somente isso, precisamos também garantir que o limite exista, e isso só ocorre se os limites laterais forem iguais, ou seja:

lim x 0 + f x = lim x 0 - f x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, fazendo pela esquerda:

lim x 0 - 1 x + 2 = 1 2

Fazendo pela direita:

lim x 0 + sen ( b x ) x = sen 0 0 = 0 0

Portanto, para fugir da indeterminação nós calculamos ele pelo Limite Fundamental Trigonométrico:

lim x 0 + sen ( b x ) x = lim x 0 + sen b x x b b

b lim x 0 + sen b x b x = b 1 = b

Passo 3

Devemos ter então que:

lim x 0 + f x = lim x 0 - f x = f 0

b = 1 2 = a

Resposta

a = b = 1 2

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