Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Em alguma base ortonormal β = ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) temos os vetores u → = ( 0 ,   1 ,   1 ) β , v → = ( 3 ,   2 ,   1 ) β e w → = ( 2 ,   0 ,   1 ) β

a) Mostre que α = ( u → ,   v → ,   w → ) é base.

b) Se x → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) α , mostre que x → = ( 1 ,   3 ,   1 ) β .

c) Sabendo que z → é um vetor tal que z → . u → = 2 , z → . w → = 7 e z → ⊥ x → , determine as coordenadas de z → na base β .

Passo 1

a) Para que α = ( u → ,   v → ,   w → ) seja base, os vetores devem ser L.I.

Vamos ver se isso é verdade fazendo o determinante:

0 1 1 3 2 1 2 0 1 = - 5 ≠ 0

Como o determinante é ≠ 0 , concluímos que os 3 vetores são L.I., e portanto, são uma base.

Passo 2

b) Os vetores da base β podem ser escritos assim:

u → = ( 0 ,   1 ,   1 ) β = 1 e 2 → + 1 e 3 →

v → = ( 3 ,   2 ,   1 ) β = 3 e 1 → + 2 e 2 → + 1 e 3 →

w → = ( 2 ,   0 ,   1 ) β = 2 e 1 → + 1 e 3 →

Da mesma forma, o vetor x → que está na base α pode ser escrito como

x → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) α = 1 u → + 1 v → - 1 w →

Então, substituindo as expressões que encontramos ali em cima:

x → = 1 ( 1 e 2 → + 1 e 3 → ) + 1 ( 3 e 1 → + 2 e 2 → + 1 e 3 → ) - 1 ( 2 e 1 → + 1 e 3 → )

x → = 1 e 1 → + 3 e 2 → + 1 e 3 →

Logo

x → = ( 1 ,   3 ,   1 ) β

Passo 3

c) Seja z → = ( a ,   b ,   c ) β

Vamos calcular os produtos internos:

z → . u → = ( a ,   b ,   c ) β . ( 0 ,   1 ,   1 ) β = b + c = 2

z → . w → = ( a ,   b ,   c ) β . ( 2 ,   0 ,   1 ) β = 2 a + c = 7

z → . x → = ( a ,   b ,   c ) β . ( 1 ,   3 ,   1 ) β = a + 3 b + c = 0

Agora temos um sistema de 3 equações e 3 incógnitas.

b + c = 2 2 a + c = 7 a + 3 b + c = 0

Resolvendo esse sistema, temos que

a = 8 5

b = - 9 5

c = 19 5

Então z → = ( 8 5 ,   - 9 5 , 19 5 ) β  

Resposta

  1. Demonstração.
  2. Demonstração.
  3. z → = ( 8 5 ,   - 9 5 , 19 5 ) β  

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