Exercícios Resolvidos de Corpos Compostos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 195, 5/71

Uma abertura é feita na casca cilíndrica fina. Determine as coordenadas x ,   y   e   z   do centro de massa do corpo homogêneo.

Passo 1

Vamos começar analisando o pedaço vazio. Qual é a sua área?

Podemos ver na figura que o seu comprimento é de 3 L 8 . Mas e a sua largura?

Pela figura podemos ver que alguém pegou o cilindro e girou 45 ° para cima em torno do eixo x . Então, podemos achar a largura do pedaço vazio calculando o comprimento do círculo:

O comprimento C de um círculo é calculado por:

C = 2 π r

No nosso caso, o comprimento do círculo que forma o cilindro é:

C = 2 π R

Mas isso é para um círculo inteiro, ou seja, com 360 ° . Mas o comprimento que queremos corresponde a um ângulo de 45 ° . Então, vamos fazer uma regra de três:

2 π R       →           360 ° l               →                 45 °

Então:

l = 2 π R ( 45 ) 360         →           l = π R 4

Beleza?

Então, o pedaço vazi0 com formato de retângulo tem as seguintes medidas:

Agora sim podemos calcular a sua área:

A F u r o = 3 L 8 π R 4       →         A F u r o = 3 L π R 32

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar as coordenadas do centróide do furo retangular. Vamos começar pela coordenada x - :

x - = L 8 + 3 L 8 2         →           x - = 5 L 16

Repare que o centróide do retângulo está na metade do seu comprimento, por isso usamos:

Agora vamos entender o que acontece para acharmos as outras coordenadas do centróide:

Para calcular y - e z - vamos formar um triângulo retângulo, assim:

Repare que o ângulo de 22,5 ° é a metade de 45 ° !

Então, vamos ter que y - é:

y - = R c o s 22,5 °       →         y - = - 0,92 R

Repare que o sinal de menos é porque esta coordenada está posicionada no lado negativo do eixo y .

E z - é:

z - = R s e n 22,5 °       →           z - = 0,38 R

Passo 3

Agora vamos analisar o cilindro como se não tivesse nenhum furo. A área de um cilindro é calculada assim:

A c i l i n d r o = 2 π r L

Onde, r é o raio e L é o comprimento.

Então, a área do nosso cilindro é:

A c i l i n d r o = 2 π R L

Passo 4

Agora vamos calcular as coordenadas do seu centróide. Sendo que o centróide fica localizado no centro geométrico do cilindro:

Então, as coordenadas do centróide são:

x - = L 2

y - = 0

z - = 0

Passo 5

Agora vamos calcular o centróide do corpo como um todo. Para isso, vamos aplicar as nossas fórmulas pra cada posição:

X - = ∑ x - i A i ∑ A i         →           X - = 5 L 16 - 3 L π R 32 + L 2 2 π R L - 3 L π R 32 + 2 π R L

X - = 0,509 L

A coordenada Y - é:

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i       →           Y - = - 0,92 R - 3 L π R 32 + 0 2 π R L - 3 L π R 32 + 2 π R L

Y - = 0,0443 R

E por último a coordenada Z - :

Z - = ∑ z - i A i ∑ A i           →             Z - = 0,38 R - 3 L π R 32 + 0 2 π R L - 3 L π R 32 + 2 π R L

Z - = - 0,0183 R

Resposta

X - = 0,509 L

Y - = 0,0443 R

Z - = - 0,0183 R

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