Exercícios Resolvidos de Critério para Possuir Inversa de Funções Vetoriais

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Enunciado

A função f ρ , θ , ϕ = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ cos ⁡ ϕ está definida em todo   ρ , θ , ϕ ∈ R 3 . Em que pontos   ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ∈ R 3 é possível garantir que essa função admite inversa numa vizinhança de ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ?

Passo 1

Para verificar se a função é inversível temos que achar o jacobiano dessa função. Para isso primeiro identificamos quem são f 1 , f 2 e f 3 , nesse caso porque temos R 2 .

f 1 = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ

f 2 = ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

f 3 = ρ cos ⁡ ϕ

Agora vamos ter

J = ∂ f 1 ∂ ρ ∂ f 1 ∂ θ ∂ f 1 ∂ ϕ ∂ f 2 ∂ ρ ∂ f 2 ∂ θ ∂ f 2 ∂ ϕ ∂ f 3 ∂ ρ ∂ f 3 ∂ θ ∂ f 3 ∂ ϕ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 - ρ sen ⁡ ϕ

Já temos o jacobiano em um ponto qualquer

Passo 2

Para ela ser inversível o determinante desse jacobiano deve ser diferente de 0

D e t J ρ , θ , ϕ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 - ρ sen ⁡ ϕ ≠ 0

Vamos fazer esse determinante

- ρ 2 cos 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ ϕ - ρ 2 sen 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ + 0 - ρ 2 cos 2 ⁡ θ sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ - ρ 2 sen 2 ⁡ θ sen 3 ⁡ ϕ

⇒ - ρ 2 sen 3 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ - ρ 2 sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ

⇒ - ρ 2 sen 3 ⁡ ϕ - ρ 2 sen ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ

⇒ - ρ 2 sen ⁡ ϕ sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ

⇒ - ρ 2 sen ⁡ ϕ

Devemos ter

- ρ 2 sen ⁡ ϕ ≠ 0

Então

ρ 2 ≠ 0           o u         sen ⁡ ϕ ≠ 0

Isso nos diz que

ρ ≠ 0         o u         ϕ ≠ 0 + π k

Com k ∈ Z

Logo podemos afirmar que a função é inversível na restrição que encontramos

Resposta

ρ ≠ 0         o u         ϕ ≠ 0 + π k