Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2004, pp. 229 ex. 6.8

Calcule ∫ C   e x sen ⁡ y   d x + e x cos ⁡ y + x d y , onde C é o arco da circunferência x 2 + y 2 = 1 , no primeiro quadrante, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos fazer um esboço da curva:

A parametrização desse arco envolveria senos e cossenos, que, quando substituídos na expressão do campo vetorial, tornariam a integral muito complicada. Vamos, então, aplicar o Teorema de Green aqui.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perceba que a curva C em que vamos integrar não é fechada, ela é composta apenas pelo arco de circunferência. O que faremos então? Vamos fechá-la, formando uma curva S = C ∪ C 1 ∪ C 2 , onde C 1 é o segmento de reta horizontal e C 2 o vertical. Vamos orientar essa curva S de positivamente.

Teremos, então:

∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y = ∫ S   F ⋅ d r = ∫ C   F ⋅ d r + ∫ c 1   F ⋅ d r + ∫ C 2   F ⋅ d r

Agora, vamos isolar o termo que queremos, ∫ C   F . d r :

∫ C   F ⋅ d r = ∬ D   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y - ∫ c 1   F ⋅ d r - ∫ C 2   F ⋅ d r

Como os segmentos C 1 e C 2 são simples de parametrizar, vamos calculá-los pela definição mesmo.

Passo 3

O campo vetorial da questão pode ser escrito como F = e x sen ⁡ y   , e x cos ⁡ y + x

Vamos agora calcular ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y :

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x e x cos ⁡ y + x = e x cos ⁡ y + 1

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y e x sen ⁡ y = e x cos ⁡ y

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = e x cos ⁡ y + 1 - e x cos ⁡ y = 1

Sendo S a fronteira da nossa região D , aplicando o teorema de Green, temos:

∫ S   F ⋅ d r = ∬ D   1 d x d y = área D = π 4

Calma, essa ainda não é a resposta, ainda precisamos calcular a integral em C 1 e em C 2 . Guarde esse resultado.

Passo 4

Vamos parametrizar os segmentos C 1 e C 2 .

Para C 1 : Este é um segmento horizontal em que y = 0 e x varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: σ 1 → = ( x , 0 ) , onde x varia de 0 a 1 .

Para C 2 : Este é um segmento vertical em que x = 0 e y varia, portanto, podemos parametrizá-lo assim: σ 2 → = ( 0 , y ) , onde y varia de 1 a 0 .

Passo 5

Agora precisamos derivar essas parametrizações:

σ 1 → ' = ( 1,0 )

σ 2 → ' = ( 0,1 )

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula que vimos capítulo passado:

∫ a b F x t ,   y t ⋅ σ → ' t   d t

Temos:

∫ c 1   F ⋅ d r = ∫ 0 1 e x sen ⁡ 0   , e x cos ⁡ 0 + x ⋅ 1,0 d x = ∫ 0 1 0   , e x + x ⋅ 1,0 d x = 0

∫ C 2   F ⋅ d r = ∫ 1 0 e 0 sen ⁡ y   , e 0 cos ⁡ y + 0 ⋅ 0,1 d y =

= ∫ 1 0 cos ⁡ y d y = sen ⁡ y 1 0 = - sen ⁡ 1

Passo 7

O que queremos é a integral em C . Temos que:

∫ C   F ⋅ d r = ∫ S   F ⋅ d r - ∫ c 1   F ⋅ d r - ∫ C 2   F ⋅ d r

Substituindo os resultados que encontramos:

∫ C   F ⋅ d r = π 4 - 0 - - sen ⁡ 1 =

Resposta

π 4 + sen ⁡ 1

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