Exercícios Resolvidos de Curvas Abertas

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009

Calcule C F d r , onde F x , y , z = z 2 , x z , 2 x y e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 1 - y 2 , z 0 , com o plano 2 x + 3 z = 6 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Vamos lá, galera, essa é bem parecida com aquela que resolvemos na teoria, né? Primeira coisa que precisamos fazer é esboçar nossa curva pra entender que tipo de problema estamos lidando. A interseção do cilindro z = 1 - y 2 com o plano 2 x + 3 z = 6 é isso aqui

Portanto estamos lidando com uma curva aberta, o problema é que fazer essa integral diretamente seria muito trabalhoso. Vamos tentar calcular o rotacional pra ver se usar o teorema de Stokes é simples

r o t F = F 3 y - F 2 z , F 1 z - F 3 x , F 2 x - F 1 y

F x , y , z = z 2 , x z , 2 x y

r o t F = 2 x - x , 2 z - 2 y , z - 0 = x , 2 z - 2 y , z

Beleza, vamos fechar a curva com a reta C 1 que liga as duas extremidades e ver como fica o teorema de Stokes

Lembre-se de tomar cuidado com as orientações das curvas! O enunciado pediu a curva C com orientação anti-horária quando vista de cima, a orientação correta é essa aí do esboço. O teorema de Stokes fica

C F d r + C 1 F d r = S r o t F . n d S

Vamos calcular então essa integral de superfície e essa integral de linha pra chegarmos na resposta final, vamos lá?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como já calculamos o rotacional ali no passo 1, vamos terminar a integral dessa superfície logo. Precisamos parametrizá-la, descobrir o seu vetor normal e integrar tudo, certo? Vamos começar pela parametrização.

A superfície está toda contida no plano 2 x + 3 z = 6 , sendo que somente é limitada pelo cilindro z = 1 - y 2 , podemos obter uma parametrização explícita pela equação do plano!

x = x

y = y

z = 6 - 2 x 3

Os limites de x e y obtemos pela projeção da superfície no plano x y

Essa parábola no plano x y é obtida pela interseção do plano com o cilindro

z = 1 - y 2

2 x + 3 z = 6

2 x + 3 1 - y 2 = 6

2 x + 3 - 3 y 2 = 6

2 x = 3 y 2 + 3

x = 3 2 y 2 + 1

Além disso o enunciado diz que z 0 , portanto

6 - 2 x 3 0 x 3

Portanto os intervalos de x e y são

3 2 y 2 + 1 x 3

- 1 y 1

Graficamente dava pra perceber isso também, só não tínhamos essa equação bizarra da parábola.

Como agora temos a parametrização, vamos substituir isso no nosso rotacional

r o t F = x , 2 z - 2 y , z = x , 12 - 4 x 3 - 2 y , 6 - 2 x 3

Pode estar parecendo meio bizarro, mas o produto escalar dessa cara com a normal vai facilitar um pouco as coisas, prometo!

Passo 3

A normal do plano podemos obter pelo macete de quando a parametrização é explícita, lembra dele? É isso aqui, quando z = f x , y

N = - f x , - f y , 1

No nosso caso,

f x , y = 6 - 2 x 3

N = 2 3 , 0,1

Com essa normal vamos poder zerar o termo do meio do rotacional!

Passo 4

Agora é só substituir na integral de superfície

S r o t F . n d S = - 1 1 3 2 y 2 + 1 3 x , 12 - 4 x 3 - 2 y , 6 - 2 x 3 . 2 3 , 0,1 d x d y

= - 1 1 3 2 y 2 + 1 3 2 x 3 + 6 3 - 2 x 3 d x d y = - 1 1 3 2 y 2 + 1 3 2 d x d y

Agora é só integrar!

= - 1 1 2 3 - 3 2 y 2 + 1 d y = - 1 1 6 - 3 y 2 - 3 d y

= - 1 1 3 - 3 y 2 = 3 y - y 3 - 1 1

= 3 - 1 - - 3 + 1 = 2 + 2

S r o t F . n d S = 4

Passo 5

Pronto, passou a parte mais chata, essa integral de linha agora vai ser mais tranquila. Ela é uma reta, certo? Vamos ver que pontos ela liga!

Sabemos que as extremidades dela estão no plano z = 0 . Além disso, essas extremidades são limitadas por - 1 y 1 , então em uma o valor de y é - 1 e em outra é 1 . Beleza, agora falta x . Podemos ver isso pela equação do plano, afinal essa reta pertence a ele!

2 x + 3 z = 6 z = 0

2 x = 6

x = 3

Portanto a reta liga os pontos ( 3 , - 1,0 ) até ( 3,1 , 0 ) e podemos parametrizá-la por

σ t = 3 , t , 0

- 1 t 1

Para calcular a integral dessa reta, precisamos da derivada da sua parametrização e do campo F escrito conforme o parâmetro t , vamos fazer isso agora

F x , y , z = z 2 , x z , 2 x y

F t = 0 2 , 3.0,2.3 . t = 0,0 , 6 t

σ ' t = 0,1 , 0

Portanto a integral de linha fica isso aqui

C 1 F d r = - 1 1 0,0 , 6 t . 0,1 , 0 d t = - 1 1 0 d t

C 1 F d r = 0

Passo 6

Pronto, agora é só voltar para o teorema de Stokes

C F d r + C 1 F d r = S r o t F . n d S

C F d r + 0 = 4

C F d r = 4

Resposta

4

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