Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 4, Questão 16f

16) Calcule as seguintes integrais:

f)

�� C   x y - y 3 3 d x + x + x 3 3 + y d y

onde C é a fronteira da região D entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 9 , orientada positivamente.

Passo 1

Bem, perceba que nesse problema o enunciado não nos disse como essa integral de linha deve ser feita, porém... Repare que o campo que estamos trabalhando

F x ,   y = x y - y 3 3 ,   x + x 3 3 + y

ele é chato e além disso a curva é composta por outras duas.

Isso é uma sugestão que devemos utilizar o teorema de Green para matar o problema, mas para você ter certeza se é Green ou não, calculemos

F 2 x - F 1 y

As derivadas parciais são...

F 2 x = x + x 3 3 + y x = 1 + x 2

F 1 y = x y - y 3 3 y = x - y 2

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F 2 x - F 1 y = 1 + x 2 - x - y 2 =

1 - x + x 2 + y 2

De fato é muito simples essa subtração nos indicando que de fato estamos lidando com Green

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema de Green nada mais é do que essa igualdade mara entre a integral de linha com uma integral dupla:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Mas antes de aplicarmos essa igualdade maravilhosa do Teorema, temos que avalizar as condições de Green, que sempre nos exige:

1º - Uma curva C fechada delimitando a região D .

2º - A curva C , orientada positivamente.

3º - Um campo F sem singularidades onde estamos trabalhando.

Vamos averiguar?

Passo 3

1º - Precisamos de uma curva C fechada e delimitando uma região D . Ora, a curva C , pelo próprio enunciado, é a curva composta por essas duas circunferências (uma de raio 1 e outras de raio 3 ):

Onde a região D é justamente esse anel:

2º - E mais, ela está orientada positivamente sim!!! Pois a curva de fora gira no sentido anti-horário e a de dentro no sentido contrário (foi uma exigência do enunciado )

- O campo F que estamos trabalhando...

F x ,   y = x y - y 3 3 ,   x + x 3 3 + y

nem tem singularidade :D!

Passo 4

Condições do Teorema sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa boa:

C   F d r = D   F 2 x - F 1 y d A

Se queremos a integral de linha, calculemos a integral dupla e beijinho no ombro ;)

Substituindo...

C   F d r = D   1 - x + x 2 + y 2     d A

Para calcular essa integral dupla, devemos descrever a região D . Como estamos dentro de um anel circular, nada mais justo que pensarmos nas coordenadas polares:

x = r cos θ

y = r sin θ

J = r

e uma equação que ajuda é...

x 2 + y 2 = r 2

Passo 5

Para encontrar os limites das variáveis olhemos para a região novamente:

Perceba que o raio r está saindo da circunferência menor e indo até o da maior...

1 r 3

O ângulo θ varia uma volta completa:

0 θ 2 π

Passo 6

Retornando a integral dupla que encontramos por Green...

D   1 - x + x 2 + y 2     d A

e substituindo tudo pelas novas coordenadas (cuidado para não esquecer o Jacobino):

0 2 π 1 3 1 - r cos θ + r 2 J   d r d θ =

0 2 π 1 3 1 - r cos θ + r 2 r   d r d θ =

0 2 π 1 3 r - r 2 cos θ + r 3   d r d θ

Calculando essa integral dupla considerando na de dentro o cosseno como constante...

0 2 π 1 3 r - r 2 cos θ + r 3   d r d θ =

0 2 π r 2 2 - r 3 3 cos θ + r 4 4 1 3 d θ =

0 2 π 3 2 2 - 3 3 3 cos θ + 3 4 4 - 1 2 - 1 3 cos θ + 1 4 d θ =

0 2 π 9 2 - 9 cos θ + 81 4 - 1 2 + 1 3 cos θ - 1 4 d θ =

0 2 π 24 - 26 3 cos θ d θ = 24 θ - 26 3 sin θ 0 2 π =

48 π

Resposta

f )     48 π

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