Exercícios Resolvidos de Curvas Compostas

Elaboração Própria

Calcule ∫ C F → d r → para o campo F → = 2 x + 3 x 2 y 2 , 2 x + y + 2 x 3 y onde C é a curva orientada no sentido positivo e composta por

y = 4 - x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

y = 0 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

x 2 + y - 2 2 = 1

Passo 1

Vamos lá, galera, essa curva é composta por vários pedaços, vamos juntar tudo em um esboço pra ver como fica

Aparentemente aqui podemos usar o teorema de Green, né? O teorema é esse aqui, onde C é a fronteira da região D .

∫ C F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d A

No nosso caso, a região D é aquela sombreada ali no esboço. Precisamos primeiro encontrar esse termo ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y e delimitar a região D , depois é só integrar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

F → = 2 x + 3 x 2 y 2 , 2 x + y + 2 x 3 y

F 2 = 2 x + y + 2 x 3 y

∂ F 2 ∂ x = 2 + 6 x 2 y

F 1 = 2 x + 3 x 2 y 2

∂ F 1 ∂ y = 6 x 2 y

Substituindo lá em cima

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

= 2 + 6 x 2 y - 6 x 2 y = 2

Voltando para o teorema de Green, ficamos com

∫ C F → d r → = ∬ D 2 d A = 2 Á r e a

Portanto só precisamos descobrir a área da região D ! Ela vai ser a área da parábola menos a área da circunferência, vamos fazer cada uma delas separadamente

Á r e a = A P - A C

Passo 3

A área da parábola deve ser feita pela integral dupla mesmo, os limites vão ser esses aqui

0 ≤ y ≤ 4 - x 2

- 2 ≤ x ≤ 2

A P = ∫ - 2 2 ∫ 0 4 - x 2 1 d y d x

= ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

= 4 x - x 3 3 x = - 2 x = 2 = 4 2 - - 2 - 2 3 - - 2 3 3

= 4 4 - 8 + 8 3 = 16 - 16 3

A P = 32 3

Essa é a área da parábola, certo? Precisamos retirar aquele círculo desse valor! A área do círculo é definida por

A C = π r 2

A circunferência é descrita por x 2 + y - 2 2 = 1 , portanto o seu raio é igual a 1 , com isso

A C = π

E a área total pode ser escrita como

Á r e a = A P - A C

Á r e a = 32 3 - π

Passo 4

Voltando para o resultado que encontramos pelo teorema de Green

∫ C F → d r → = 2 Á r e a

∫ C F → d r → = 2 32 3 - π = 64 3 - 2 π

Resposta

64 3 - 2 π

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