Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 7

Considere a função

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 ,           p a r a   t o d o     x ,   y ≠ 0 ,   0

Então

a) a curva de nível - 1 de f está contida em uma elipse.

b) a curva de nível - 1 de f é uma hipérbole.

c) a curva de nível 1 de f está contida em uma elipse.

d) a curva de nível 1 de f é uma parábola.

e) a curva de nível 1 de f é um conjunto vazio.

Passo 1

Eai galerinha, beleza? Bora resolver mais uma questão!!!

O enunciado forneceu uma função de duas variáveis:

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2

Note que essa função não está definida em x ,   y = 0 ,   0 . Queremos analisar as curvas de nível dessa função. Nas alternativas aparecem os níveis 1 e -1. Vamos fazer primeiro para a curva de nível 1 . Para isso, igualamos f x ,   y = 1 :

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 = 1

Logo,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y = x 2 + y 2

Portanto,

- 2 x + 2 y 2 + y = 0

Ou ainda,

2 y 2 - 2 x + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para identificar a curva, vamos completar quadrados!

2 y 2 + y = 2   y 2 + y 2 = 2   y 2 + y 2 + 1 16 - 1 16 = 2 y 2 + y 2 + 1 16 - 1 8

Mas note que

y 2 + y 2 + 1 16 = y + 1 4 2

Portanto,

2 y 2 + y = 2 y + 1 4 2 - 1 8

Assim, a equação da curva de nível é

2 y 2 - 2 x + y = 0 ⇒ 2 y + 1 4 2 - 1 8 - 2 x = 0

Ou ainda

2 y + 1 4 2 = 2 x + 1 8

Como apenas uma das incógnitas aparece ao quadrado, trata-se de uma parábola! Mas note uma coisa: o ponto 0 ,   0 pertence a essa curva:

2 ⋅ 0 + 1 4 2 = 0 + 1 8

Assim, a curva de nível não é toda a parábola: devemos tirar a origem! Assim, a alternativa D não pode ser assinalada já que ela diz que toda a parábola é a curva de nível!

Passo 3

Vamos ver agora qual é a curva de nível - 1 de f :

f x ,   y = - 1

Assim,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 = - 1

Logo,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y = - x 2 - y 2

Portanto,

2 x 2 + 4 y 2 - 2 x + y = 0

Passo 4

Completando quadrados:

2 x 2 - 2 x = 2 x 2 - x + 1 4 - 1 4 = 2 x - 1 2 2 - 1 2

4 y 2 + y = 4 y 2 + y 4 + 1 64 - 1 64 = 4 y + 1 8 2 - 1 16

Assim,

2 x 2 + 4 y 2 - 2 x + y = 0 ⇒ 2 x - 1 2 2 - 1 2 + 4 y + 1 8 2 - 1 16 = 0

Portanto,

2 x - 1 2 2 + 4 y + 1 8 2 = 9 16

Trata-se de uma elipse. Mas note que a origem 0 ,   0 pertence a essa curva também! Então a curva de nível não é a elipse toda, de modo que a alternativa A está correta: a curva de nível está contida numa elipse, mas não é ela toda!

Pode assinalar a alternativa A sem dó 😉

Resposta

Alternativa A.

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