Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 5

Considere a função

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 ,           p a r a   t o d o     x ,   y ≠ 0 ,   0

Então

a) a curva de nível 1 de f está contida em uma parábola.

b) a curva de nível 1 de f é uma elipse.

c) a curva de nível 2 de f é uma hipérbole.

d) a curva de nível 2 de f está contida em uma elipse.

e) a curva de nível 2 de f é um conjunto vazio.

Passo 1

Eai galerinha, beleza? Bora resolver mais uma questão!!!

O enunciado forneceu uma função de duas variáveis:

f x , y = x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2

Note que essa função não está definida em x ,   y = 0 ,   0 . Queremos analisar as curvas de nível dessa função. Nas alternativas aparecem os níveis 1 e 2 . Vamos fazer primeiro para a curva de nível 1 .

Sempre que queremos achar a curva de nível k de uma função, igualamos a função a k :

f x ,   y = k

Nesse caso, queremos a curva de nível 1 , de modo que f x ,   y = 1 :

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 = 1

Logo,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y = x 2 + y 2

Portanto,

x 2 - x 2 - 2 x + 3 y 2 - y 2 + y = 0

Ou ainda,

- 2 x + 2 y 2 + y = 0

Com isso,

2 y 2 - 2 x + y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para identificar a curva, temos que completar quadrados para as variáveis que aparecem ao quadrado! O ideia é bem simples, devemos somar e subtrair um número para obter um quadrado perfeito:

x 2 + b x = x 2 + b x + b 2 2 - b 2 2 = x + b 2 2 - b 2 4

Vamos usar essa ideia para a expressão:

2 y 2 + y = 2   y 2 + y 2 = 2   y 2 + y 2 + 1 16 - 1 16 = 2 y 2 + y 2 + 1 16 - 1 8

Mas note que

y 2 + y 2 + 1 16 = y + 1 4 2

Portanto,

2 y 2 + y = 2 y + 1 4 2 - 1 8

Assim, a equação da curva de nível é

2 y 2 - 2 x + y = 0 ⇒ 2 y + 1 4 2 - 1 8 - 2 x = 0

Ou ainda

2 y + 1 4 2 = 2 x + 1 8

Como essa equação é do tipo Y 2 = A x + B , trata-se de uma parábola! Mas note uma coisa: o ponto 0 ,   0 pertence a essa curva:

2 ⋅ 0 + 1 4 2 = 0 + 1 8

Assim, a curva de nível não é toda a parábola: devemos tirar a origem! Assim, a alternativa A é perfeita pois diz que a curva de nível está contida em uma parábola, mas não é a parábola toda...

Passo 3

Vamos ver agora qual é a curva de nível 2 de f :

f x ,   y = 2

Assim,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y x 2 + y 2 = 2

Logo,

x 2 - 2 x + 3 y 2 + y = 2 x 2 + 2 y 2

Com isso,

0 = 2 x 2 - x 2 + 2 x + 2 y 2 - 3 y 2 - y

Portanto,

x 2 - y 2 + 2 x - y = 0

Passo 4

Assim, como feito no passo 2, completamos quadrados:

x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = x + 1 2 - 1

- y 2 - y = - y 2 + y + 1 4 - 1 4 = - y + 1 2 2 + 1 4

Assim,

x 2 - y 2 + 2 x - y = 0 ⇒ x + 1 2 - 1 - y + 1 2 2 + 1 4 = 0

Portanto,

x + 1 2 - y + 1 2 2 = 3 4

Essa curva é do tipo

X 2 - Y 2 = k

Trata-se de uma hipérbole. Mas note que a origem 0 ,   0 pertence a essa curva também! Então a curva de nível não é a hipérbole toda, por isso a alternativa C não é correta!

Pode assinalar a alternativa A sem dó 😉

Resposta

Alternativa A.

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