Exercícios Resolvidos de Curvas de Nível

Elaboração própria

Considere a função

z = f x , y = ln ⁡ e x + y - 1

  1. Escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto 8,2 e da curva de nível que contém o ponto - 2,3
  2. Mais geralmente, escreva a equação da curva de nível de f que contém o ponto a , b , com b > - a .
  3. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 2 é constante, isto é, que y = - x + 2 está contida em um conjunto de nível de f .
  4. Mostre que o valor de f sobre a reta y = - x + 3 é constante, isto é, que y = - x + 3 está contida em um conjunto de nível de f .
  5. Se, por um momento, f representasse um lucro e você fosse um empresário, em qual reta você gostaria de estar: y = - x + 2 ou y = - x + 3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

a )

Para achar a curva de nível precisamos do valor de z , como ele deu um ponto que a curva de nível está vamos trocar esse ponto na função e achar nosso z , começando pelo ponto 8,2

z = f 8,2 = ln ⁡ e 8 + 2 - 1

z = ln ⁡ e 10 - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e 10 - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e 10 - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e 10 - 1

e x + y = e 10

x + y = 10

E temos nossa curva de nível.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer a mesma coisa para o outro ponto - 2,3 ,

z = f - 2,3 = ln ⁡ e - 2 + 3 - 1

z = ln ⁡ e - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e - 1

e x + y = e

x + y = 1

E temos nossa outra curva de nível.

Passo 3

b )

Vamos fazer a mesma coisa de novo, só que dessa vez no ponto a , b

z = f a , b = ln ⁡ e a + b - 1

z = ln ⁡ e a + b - 1

Para achar a curva de nível vamos fazer

ln ⁡ e a + b - 1 = f x , y

ln ⁡ e x + y - 1 = ln ⁡ e a + b - 1

Como temos logaritmos de mesma base podemos “tirar” o ln ⁡  

e x + y - 1 = e a + b - 1

e x + y = e a + b

x + y = a + b

E temos nossa curva de nível. Você deve estar se perguntando onde entra aquela restrição, isso serve para vermos que o cara dentro do ln ⁡   no valor de z é positivo, e assim podemos ter o logaritmo sem problemas. Ele é positivo porque

b > - a

b + a > 0

e b + a > e 0

e b + a > 1

e b + a - 1 > 0

Sacou?

Passo 4

c )

Basta trocar esse valor de y na função e ver se z vai ser constante.

y = - x + 2

z = f x , - x + 2 = ln ⁡ e x - x + 2 - 1

z = ln ⁡ e 2 - 1

Que, por mais feio que seja, é uma constante.

Então essa reta é uma curva de nível.

Passo 5

d )

Basta trocar esse valor de y na função e ver se z vai ser constante.

y = - x + 3

z = f x , - x + 3 = ln ⁡ e x - x + 3 - 1

z = ln ⁡ e 3 - 1

Que, por mais feio que seja, é uma constante.

Então essa reta é uma curva de nível.

Passo 6

e )

Como a função representa lucro, queremos o maior valor de z possível. Qual deles é maior?

Sabemos que

e 3 > e 2

Isso porque e ≅ 2,7

Subtrair 1 não vai mudar o cara dentro do logaritmo, então a segunda reta vai ser melhor. A melhor situação é

y = - x + 3

Resposta

  1. x + y = 10
  2. x + y = 1

  3. x + y = a + b
  4. z = ln ⁡ e 2 - 1
  5. z = ln ⁡ e 3 - 1
  6. y = - x + 3

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