Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

USP, P1 2014 A, exercício 2

Considere a curva γ t = ( cos t , tan 2 t ) com t 0 , π 2

  1. Mostre que a imagem de γ está contida numa curva de nível da função f x , y = y - 1 x 2 + 2 e determine o nível.
  2. Esboce a imagem de γ indicando o sentido do seu percurso.

Passo 1

  1. Pra gente confirmar que a curva γ está contida numa curva de nível de f , temos que fazer a substituição das coordenadas x e y da curva γ na função f ( x , y ) . Temos que:
  2. x = cos t y = tan 2 t

    Passo 2

    Colocando esses x e y na função, fica assim:

    f x , y = y - 1 x 2 + 2

    f cos t , tan 2 t = tan 2 t - 1 cos 2 t + 2

    f cos t , tan 2 t = tan 2 t - sec 2 t + 2

    Como tan 2 t - sec 2 t = - 1 ...

    f cos t , tan 2 t = - 1 + 2 = 1

    Beleza!! Conseguimos descobrir que o nível é 1 !!

    Isso prova que a imagem da curva γ está de fato contida na função f x , y , sendo parte da sua curva de nível 1 .

    Passo 3

  3. Vamos esboçar γ ( t ) ? Bom, é uma ótima ideia se a gente começar esboçando a própria curva de nível 1 (gastaremos menos neurônios fazendo assim)

Como o nível da curva é 1 , basta colocar esse valor para o f x , y , que fica:

1 = y - 1 x 2 + 2

y = 1 x 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perfeito, agora que temos a curva, é só esboçá-la :) Não que isso seja sempre fácil, mas convenhamos, todos sabemos que y = 1 x é a hipérbole:

Tudo o que você tem que pensar agora é: Estamos elevando esse x ao quadrado, então a curva nunca terá valores negativos! Aí pegamos essa parte da esquerda e refletimos ela pra cima, pegou a ideia? Assim, o gráfico de y = 1 x 2 é:

Passo 3

Agora você me pergunta, mas e o - 1 ?? Não era y = 1 x 2 - 1 ?

Calma! Tudo o que temos que fazer é transladar (nome bonito para pegar de um canto e botar no outro) cada ponto da curva uma unidade para baixo (no sentido negativo do eixo y ). É como fingir que o eixo x caiu pra posição y = - 1 :

Passo 4

Perfeito! Agora é só analisar qual é o intervalo que a nossa curva γ ( t ) = ( cos t , tan 2 t ) aparece.

Sabemos que t 0 , π 2 . Quando t varia entre 0 e π 2 , o cos t   varia entre cos 0 e cos π 2 , isso vai fazer o valor de x ir de 1 à 0 , isso vai nos dizer o sentido dessa curva, temos que pegar a parte onde x varia entre 0 e 1 e colocar ele indo do x = 1 até o x = 0 .

E fazendo o mesmo para tan 2 t , vemos que ela varia entre 0 e + .

Assim, pegamos a seção correspondente na curva y = 1 x 2 - 1 , com o x = cos t entre 0 e 1 , e o y = tan 2 t entre 0 e +

Resposta

a) O nível é 1. f cos t , tan 2 t = - 1 + 2 = 1

b)

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