Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 27

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 2 da função f x ,   y = x 2 + 4 x + 5 y + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 6 x + 5 y = 2 .

b) 5 x + 5 y = 1 .

c) 7 x + 5 y = 3 .

d) 7 x + 4 y = 3 .

e) 7 x + 4 y = 2 .

Passo 1

Fala pessoal, beleza? Preparados para mais uma questão?

O enunciado diz que a curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 2 da função f x ,   y = x 2 + 4 x + 5 y + 1 . Queremos saber qual a reta tangente à curva γ no ponto γ 1 . Para isso, lembre que o vetor tangente à curva é

γ ' t = x ' t ,   y ' t

Nesse caso, como x t = t , temos que

γ ' t = 1 ,   y ' t

Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente:

X = γ 1 + λ   γ ' 1

O ponto γ 1 é um ponto da reta e γ ' 1 é vetor diretor! λ é o parâmetro da equação vetorial.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, mas como fazer tudo isso? Temos que achar γ 1 e γ ' 1 ! Para isso, usamos a principal informação do enunciado: a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 2 da função f x ,   y = x 2 + 4 x + 5 y + 1 .

Assim, se compusermos f com γ , devemos obter 2 , pois para todos os pontos da curva o valor de f é 2 :

f γ t = 2

Assim,

f t ,   y t = 2

Trocando x = t e y = y t na equação de f :

t 2 + 4 t + 5 y ( t ) + 1 = 2

Assim,

y t = 1 5 - 4 t 5 - t 2 5

Fazendo t = 1 :

y 1 = 1 5 - 4 5 - 1 5 = - 4 5

Assim, como γ t = y ,   y t :

γ 1 = 1 ,   - 4 5

Passo 3

Derivando y ( t ) :

y ' t = - 4 5 - 2 t 5

Fazendo t = 1 :

y ' 1 = - 4 5 - 2 5 = - 6 5

Assim, como γ ' t = 1 ,   y ' t :

γ ' 1 = 1 ,   - 6 5

Passo 4

Agora que temos γ 1 = 1 ,   - 4 5 e γ ' 1 = 1 ,   - 6 5 , vamos para a equação da reta:

X = γ 1 + λ   γ ' 1

Logo, como X = ( x ,   y ) :

( x ,   y ) = 1 ,   - 4 5 + λ   1 ,   - 6 5

Assim,

x = 1 + λ y = - 4 5 - 6 λ 5

Isolando λ na primeira equação:

λ = x - 1

Substituindo na segunda:

y = - 1 5 4 + 6 x - 1

- 5 y = 4 + 6 x - 6

Assim, a equação da reta é

6 x + 5 y = 2

Vemos que a resposta está na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas