Exercícios Resolvidos de Demonstrações

Demonstre que dados dois inteiros Equation e Equation , o produto Equation é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, Equation ou Equation , for par.

Passo 1

Olááá pessoa dedicada! Hahahaha tudo bem?

Bom, aqui precisamos demonstrar essa afirmação! Mas qual método utilizaremos?

Cara, normalmente eu diria pra você seguir o seu coração, entretanto, tem um “se e somente se” ali, então vamos usar esse método, ok?

Equation

Equation

Nesse tipo de demonstração, precisamos provar a ida e a volta. Provaremos então:

  1. Equation
  2. Equation

Vamos começar do ínicio, provando Equation . Da hipótese podemos escrever:

Equation

Podemos escrever Equation , onde Equation e Equation são inteiros:

Equation

Ou seja, podemos ter que ou Equation ou Equation . Além disso, podemos ter que Equation , isto é, ele pode ser par! Então teríamos:

Equation

E isso poderia ser Equation . Não é uma regra, é apenas uma possibilidade.

Portanto, um deles deveria ser par.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos provar o Equation . Da hipótese podemos escrever que:

Equation

Equation

Equation

Bom, agora vamos ver cada caso.

Caso Equation é par e Equation não:

Equation

Chamando Equation :

Equation

Ou seja, é par.

Caso Equation é par e Equation não:

Equation

Chamando Equation :

Equation

Ou seja, é par.

Caso Equation é par e Equation é par:

Equation

Chamando Equation :

Equation

Ou seja, é par.

Portanto, as duas proposições são verdadeiras, como queríamos demonstrar.

Equation

Resposta

Demonstração pelo método de se e somente se.

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