Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

Elaboração Própria

Encontre a derivada y ' no ponto P = 1 , 1 + 5 2 da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

Passo 1

Derivando em ambos os lados, obtemos:

3 x 2 + x ' y + x y ' - y 2 ' = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, teremos

y 2 = 2 y y '

Assim,

3 x 2 + y + x y ' - 2 y y ' = 0

3 x 2 + y + x y ' - 2 y y ' = 0

Passo 3

Isolando a variável y ' :

y ' x - 2 y = - y - 3 x 2

y ' = - y - 3 x 2 x - 2 y

Passo 4

Substituindo os valores:

P = 1 , 1 + 5 2

y ' 1 , 1 + 5 2 = - 1 + 5 2 - 3 × 1 2 1 - 2 × 1 + 5 2

y ' 1 , 1 + 5 2 = - 1 - 5 2 - 3 1 - 1 + 5

y ' 1 , 1 + 5 2 = - 1 - 5 - 6 2 1 - 1 - 5

O que, continuando as contas, resulta em:

y ' 1 , 1 + 5 2 = - 7 - 5 2 - 5 = - 7 - 5 - 2 5 = 7 + 5 2 5 = 7 5 + 5 10

y ' 1 , 1 + 5 2 = 5 + 7 5 10

Resposta

y ' 1 , 1 + 5 2 = 5 + 7 5 10

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