Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2014.1, Questão D1

Seja z = f x , y uma função diferenciável no ponto 1,2 e considere os vetores u = 2 2 , 2 2 e v = 2 2 , - 2 2 .

  1. Sabendo-se que
  2. D u f 1,2 = 1           e           D v f 1,2 = 3

    calcule f x 1,2 e f y 1,2

  3. Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1,2 , 3 , onde f 1,2 = 3 .
  4. Considere uma curva no plano parametrizada por

r t = x t , 2 + t + t 2 ,       t R

Onde x t é uma função diferenciável tal que x 0 = 1 . Sabendo-se que d z d t em t = 0 é 2 2 , calcule x ` 0 .

Passo 1

a)

Vamos começar com o vetor v . Primeiro calcular módulo do vetor v :

v = 2 2 2 + - 2 2 2

v = 2 4 + 2 4

v = 1

v = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular vetor gradiente:

f x , y , = f x , f y

Nesse caso nao temos a função para derivar então vamos direto para o vetor gradiente no ponto P

Calcular vetor gradiente no ponto P :

f 1,2 = f x 1,2 ,   f y 1,2

Passo 3

Calcular derivada direcional de v , mas lembre-se que sabemos o valor dela nessa direção!!

f v P = f P v v  

3 = f x 1,2 ,   f y 1,2 2 2 , - 2 2 1

3 = 2 2 f x 1,2 - 2 2 f y 1,2

6 = 2 f x 1,2 - 2 f y 1,2

Só essa equação nao resolve.

Passo 4

Vamos agora para o vetor u , primeiro calcular módulo do vetor u :

u = 2 2 2 + 2 2 2

u = 2 4 + 2 4

u = 1

u = 1

Passo 5

Já encontramos o vetor gradiente nesse ponto no passo 3. Vamos agora calcular a derivada direcional u

f u P = f P u u  

1 = f x 1,2 ,   f y 1,2 2 2 , 2 2 1

1 = 2 2 f x 1,2 + 2 2 f y 1,2

2 = 2 f x 1,2 + 2 f y 1,2

Passo 6

Temos então o seguinte sistema

2 f x 1,2 + 2 f y 1,2 = 2 2 f x 1,2 - 2 f y 1,2 = 6

Se somarmos a primeira equação com a segunda vamos eliminar f y 1,2

2 f x 1,2 + 2 f y 1,2 + 2 f x 1,2 - 2 f y 1,2 = 2 + 6

2 2 f x 1,2 = 8

f x 1,2 = 8 2 2 = 8 2 2.2 = 2 2

Passo 7

Substituindo esse valor em uma das equações vamos ter

2 . 2 2 + 2 f y 1,2 = 2

4 + 2 f y 1,2 = 2

2 f y 1,2 = - 2

f y 1,2 = - 2 2 = - 2 2 2 = - 2

Passo 8

b)

A equação do plano tangente vai ser

Equação do plano:

x , y , z n = 1,2 , 3 n

Precisamos achar o vetor normal. Para isso fazemos primeiro

F x , y , z = f x , y - z

E agora calculamos o gradiente de F x , y , z

F = f x x , y , f y x , y , - 1

O vetor normal vai ser

n = F 1,2 , 3

n = f x 1,2 , f y 1,2 , - 1

n = 2 2 , - 2 , - 1

Passo 9

A equação do plano tangente vai ser

x , y , z 2 2 , - 2 , - 1 = 1,2 , 3 2 2 , - 2 , - 1

2 2 x - 2 y - z = 2 2 - 2 2 - 3

2 2 x - 2 y - z = - 3

Passo 10

c)

Como ele da o valor de x 0 é uma dica que vamos em algum momento usar r 0 .

r 0 = x 0 , 2 = 1,2

Repara que os valores de x e y são os mesmos da questão. Ele deu d z d t , lembra da regra da cadeia?

d z d t = d d t f r t

Lembra da regra da cadeia?

d d t f r t = f r 0   r ' 0

d d t f r t = f 1,2   r ' 0

d d t f r t = f x 1,2 , f y 1,2   r ' 0

Passo 11

Vamos agora achar r ' 0

r ' t = x ' t , 1 + 2 t

r ' 0 = x ' 0 , 1

Já temos os valores das derivadas e r ' 0

Passo 12

Substituindo tudo que temos e que calculamos vamos ter

d d t f r t = f x 1,2 , f y 1,2   r ' 0

2 2 = 2 2 , - 2   x ' 0 , 1

2 2 = 2 2 x ' 0 - 2

2 2 x ' 0 = 2 2 + 2

2 x ' 0 = 1 2 + 1

2 x ' 0 = 3 2

x ' 0 = 3 4

Resposta

  1. f x 1,2 = 2 2
  2. f y 1,2 = - 2

  3. 2 2 x - 2 y - z = - 3
  4. x ' 0 = 3 4

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