Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

UFRJ, Cálculo 2, PF - 2015.2, Questão E11

Sejam

u = 1 2 , 1 2

v = 1 5 , 2 5

Sabendo que f ( x , y ) é uma função diferenciável tal que

D u f 0,0 = 1

D v f 0,0 = 2

Podemos afirmar que:

  1. f 0,0 = 5 - 2 i + 2 2 - 5 j
  2. f 0,0 = 2 2 - 5 i + 2 5 - 2 j
  3. f 0,0 = 2 - 5 i + 5 - 2 j
  4. f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j

Passo 1

Beleza, temos 2 vetores e os valores da derivada direcional de f na direção deles no ponto ( 0,0 ) e queremos saber qual o vetor gradiente nesse ponto.

A fórmula da derivada direcional é

D u f x 0 , y 0 = f x 0 , y 0 u u = f x x o , y 0 , f y x 0 , y 0 u u

Então, para descobrir o gradiente de f , precisamos apenas resolver um sisteminha.

Lembrando que os vetores que ele deu para a gente já são unitários, então não precisamos dividir pela norma!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Nosso sistema vai ser:

D u f 0 , 0 = f x 0,0 , f y 0,0 1 2 , 1 2 = 1

D v f 0,0 = f x 0,0 , f y 0,0 1 5 , 2 5 = 2

Assim, temos

f x 0,0 . 1 2 + f y 0,0 . 1 2 = 1

f x 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

Passo 3

Podemos isolar f x na primeira equação

f x 0,0 = 1 2 - f y ( 0,0 )

E substituir na segunda:

1 2 - f y 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

2 5 - f y 0,0 . 1 5 + f y 0,0 . 2 5 = 2

f y 0,0 . 1 5 = 2 - 2 5

f y 0,0 = 2 5 - 2

Voltando para o f x agora:

f x 0,0 = 2 - 2 5 - 2

f x 0,0 = 2 2 - 2 5

Assim:

f 0 , 0 = 2 2 - 2 5 ,   2 5 - 2

Ou

f 0,0 = 2 2 - 2 5 i + 2 5 - 2 j

Resposta

Letra d

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