Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Origem do Exercício

A equação de Laplace tridimensional é:

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0

As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.

Considere as funções:

  1. f x , y , z = x 2 + y 2 - 2 z 2
  2. f x , y , z = sen ⁡ ( 2 x ) + cos ⁡ 2 y - 2 z 2
  3. f x , y , z = 2 . sen 2 ⁡ x y + 2 . cos 2 ⁡ x y - 2 z 2
  4. f x , y , z = x y + x z + y z
  5. f x , y , z = ln ⁡ x y - x / y + x y - x y z 2

Identifique as funções harmônicas:

  1. 1,2 , 3
  2. 1,2 , 5
  3. 1,3 , 5
  4. 1,2 , 4
  5. 1,3 , 4

Passo 1

Nessa questão, ser o mais rápido possível é tão importante quanto saber resolver, porque em uma prova pode ser bastante trabalhoso calcular três derivadas segundas para cada função.

A função ( 1 ) está em todas as opções, ou seja, é certo que ela é harmônica, então não precisamos analisá-la.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Outra coisa que podemos fazer para acelerar é o seguinte: tem alguma função ali que “claramente” vai obedecer à equação de Laplace?

Bom quando nós tiramos a derivada segunda de um polinômio, ele só “sobrevive” se tiver pelo menos grau dois! Na equação ( 4 ) não temos nenhum expoente, então vamos ver como ela se comporta quando é substituída na equação de Laplace:

∂ 2 ∂ x 2 x y + x z + y z + ∂ 2 ∂ y 2 x y + x z + y z + ∂ 2 ∂ z 2 x y + x z + y z

Vamos derivar uma vez:

∂ ∂ x y + z + ∂ ∂ y x + z + ∂ ∂ z x + y

E agora derivando de novo:

0 + 0 + 0 = 0

Como previmos, a função ( 4 ) é harmônica! Com isso só restam as alternativas (d) e (e), ou seja, temos que verificar se a ( 2 ) ou a ( 3 ) são harmônicas.

Passo 3

Olhando as opções, vemos que só uma pode ser harmônica. Vamos começar pela ( 2 ) .

A função é essa:

sen ⁡ ( 2 x ) + cos ⁡ 2 y - 2 z 2

Nas derivadas parciais em relação a x , só o primeiro termo “sobrevive”, e os outros dois viram zero:

∂ ∂ x sen ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 y - 2 z 2 = ∂ ∂ x sen ⁡ 2 x

E para essa derivada só precisamos aplicar a regra da cadeia:

∂ ∂ x sen ⁡ 2 x = 2 . c o s ⁡ ( 2 x )

E derivando pela segunda vez:

∂ ∂ x 2 . c o s ⁡ ( 2 x ) = - 4 . sen ⁡ ( 2 x )

E podemos fazer quase a mesma coisa para a derivada em relação a y :

∂ 2 ∂ y 2 cos ⁡ 2 y = ∂ ∂ y - 2 . sen ⁡ 2 y = - 4 . cos ⁡ ( 2 y )

E é ainda mais simples para a derivada em relação a z :

∂ 2 ∂ z 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ z - 4 z = - 4

Agora é só somar os três valores:

- 4 . sen ⁡ 2 x - 4 . cos ⁡ 2 y - 4

Não deu zero! Então a função não é harmônica. Com isso só sobra a letra (e).

Resposta

Letra (e).

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas